Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55061 / 12691
↖ ↑ ↗
← N 80.920194°
W 28.770447°		 ← 48.19 m → N 80.920194°
W 28.767700°		 →
↑
48.23 m
↓
↑
48.23 m
↓
N 80.919760°
W 28.770447°		 ← 48.19 m →
2 324 m²		 N 80.919760°
W 28.767700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420085906982422 y=0.0968284606933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420085906982422 × 217)
    floor (0.420085906982422 × 131072)
    floor (55061.5)     		tx = 55061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0968284606933594 × 217)
    floor (0.0968284606933594 × 131072)
    floor (12691.5)     		ty = 12691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55061 / 12691 ti = "17/55061/12691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55061/12691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55061 ÷ 217
    55061 ÷ 131072     		x = 0.420082092285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12691 ÷ 217
    12691 ÷ 131072     		y = 0.0968246459960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420082092285156 × 2 - 1) × π
    -0.159835815429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.50213902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0968246459960938 × 2 - 1) × π
    0.806350708007812 × 3.1415926535     		Φ = 2.53322546042187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50213902} λ = -0.50213902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53322546042187))-π/2
    2×atan(12.5940623449292)-π/2
    2×1.49156007231936-π/2
    2.98312014463872-1.57079632675     		φ = 1.41232382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50213902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.770447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41232382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.920194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55061 KachelY 12691 -0.50213902 1.41232382 -28.770447 80.920194
    Oben rechts KachelX + 1 55062 KachelY 12691 -0.50209109 1.41232382 -28.767700 80.920194
    Unten links KachelX 55061 KachelY + 1 12692 -0.50213902 1.41231625 -28.770447 80.919760
    Unten rechts KachelX + 1 55062 KachelY + 1 12692 -0.50209109 1.41231625 -28.767700 80.919760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41232382-1.41231625) × R
    7.56999999995678e-06 × 6371000     		dl = 48.2284699997246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41232382-1.41231625) × R
    7.56999999995678e-06 × 6371000     		dr = 48.2284699997246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50213902--0.50209109) × cos(1.41232382) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157810038369999 × 6371000     		do = 48.1891936710704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50213902--0.50209109) × cos(1.41231625) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15781751350951 × 6371000     		du = 48.1914762948458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41232382)-sin(1.41231625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157810038369999-0.15781751350951)×R²
    abs(-0.50209109--0.50213902)×7.47513951029899e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.47513951029899e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.47513951029899e-06×40589641000000     		ar = 2324.14612490854m²