Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55060 / 12684
↖ ↑ ↗
← N 80.923227°
W 28.773193°		 ← 48.18 m → N 80.923227°
W 28.770447°		 →
↑
48.16 m
↓
↑
48.16 m
↓
N 80.922794°
W 28.773193°		 ← 48.19 m →
2 321 m²		 N 80.922794°
W 28.770447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420078277587891 y=0.0967750549316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420078277587891 × 217)
    floor (0.420078277587891 × 131072)
    floor (55060.5)     		tx = 55060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0967750549316406 × 217)
    floor (0.0967750549316406 × 131072)
    floor (12684.5)     		ty = 12684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55060 / 12684 ti = "17/55060/12684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55060/12684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55060 ÷ 217
    55060 ÷ 131072     		x = 0.420074462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12684 ÷ 217
    12684 ÷ 131072     		y = 0.096771240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420074462890625 × 2 - 1) × π
    -0.15985107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50218696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.096771240234375 × 2 - 1) × π
    0.80645751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53356101871921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50218696} λ = -0.50218696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53356101871921))-π/2
    2×atan(12.5982890961673)-π/2
    2×1.49158654516742-π/2
    2.98317309033484-1.57079632675     		φ = 1.41237676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50218696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.773193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41237676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.923227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55060 KachelY 12684 -0.50218696 1.41237676 -28.773193 80.923227
    Oben rechts KachelX + 1 55061 KachelY 12684 -0.50213902 1.41237676 -28.770447 80.923227
    Unten links KachelX 55060 KachelY + 1 12685 -0.50218696 1.41236920 -28.773193 80.922794
    Unten rechts KachelX + 1 55061 KachelY + 1 12685 -0.50213902 1.41236920 -28.770447 80.922794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41237676-1.41236920) × R
    7.55999999979551e-06 × 6371000     		dl = 48.1647599986972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41237676-1.41236920) × R
    7.55999999979551e-06 × 6371000     		dr = 48.1647599986972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50218696--0.50213902) × cos(1.41237676) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157757761514131 × 6371000     		do = 48.1832810511655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50218696--0.50213902) × cos(1.41236920) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157765226842109 × 6371000     		du = 48.1855611544875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41237676)-sin(1.41236920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157757761514131-0.157765226842109)×R²
    abs(-0.50213902--0.50218696)×7.46532797793464e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.46532797793464e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.46532797793464e-06×40589641000000     		ar = 2320.79107801027m²