Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55059 / 16875
↖ ↑ ↗
← N 78.915024°
W 28.775940°		 ← 58.72 m → N 78.915024°
W 28.773193°		 →
↑
58.68 m
↓
↑
58.68 m
↓
N 78.914496°
W 28.775940°		 ← 58.73 m →
3 446 m²		 N 78.914496°
W 28.773193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420070648193359 y=0.128749847412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420070648193359 × 217)
    floor (0.420070648193359 × 131072)
    floor (55059.5)     		tx = 55059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128749847412109 × 217)
    floor (0.128749847412109 × 131072)
    floor (16875.5)     		ty = 16875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55059 / 16875 ti = "17/55059/16875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55059/16875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55059 ÷ 217
    55059 ÷ 131072     		x = 0.420066833496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16875 ÷ 217
    16875 ÷ 131072     		y = 0.128746032714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420066833496094 × 2 - 1) × π
    -0.159866333007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.50223490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128746032714844 × 2 - 1) × π
    0.742507934570312 × 3.1415926535     		Φ = 2.33265747241155
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50223490} λ = -0.50223490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33265747241155))-π/2
    2×atan(10.3052912035168)-π/2
    2×1.4740616654966-π/2
    2.9481233309932-1.57079632675     		φ = 1.37732700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50223490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.775940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37732700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.915024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55059 KachelY 16875 -0.50223490 1.37732700 -28.775940 78.915024
    Oben rechts KachelX + 1 55060 KachelY 16875 -0.50218696 1.37732700 -28.773193 78.915024
    Unten links KachelX 55059 KachelY + 1 16876 -0.50223490 1.37731779 -28.775940 78.914496
    Unten rechts KachelX + 1 55060 KachelY + 1 16876 -0.50218696 1.37731779 -28.773193 78.914496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37732700-1.37731779) × R
    9.20999999998173e-06 × 6371000     		dl = 58.6769099998836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37732700-1.37731779) × R
    9.20999999998173e-06 × 6371000     		dr = 58.6769099998836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50223490--0.50218696) × cos(1.37732700) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.192264645174482 × 6371000     		do = 58.7225715283511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50223490--0.50218696) × cos(1.37731779) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.192273683336402 × 6371000     		du = 58.7253320156438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37732700)-sin(1.37731779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192264645174482-0.192273683336402)×R²
    abs(-0.50218696--0.50223490)×9.03816191991091e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.03816191991091e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.03816191991091e-06×40589641000000     		ar = 3445.7400331319m²