Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55058 / 42907
↖ ↑ ↗
← N 52.651396°
W 28.778686°		 ← 185.25 m → N 52.651396°
W 28.775940°		 →
↑
185.33 m
↓
↑
185.33 m
↓
N 52.649729°
W 28.778686°		 ← 185.26 m →
34 334 m²		 N 52.649729°
W 28.775940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420063018798828 y=0.327358245849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420063018798828 × 217)
    floor (0.420063018798828 × 131072)
    floor (55058.5)     		tx = 55058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327358245849609 × 217)
    floor (0.327358245849609 × 131072)
    floor (42907.5)     		ty = 42907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55058 / 42907 ti = "17/55058/42907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55058/42907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55058 ÷ 217
    55058 ÷ 131072     		x = 0.420059204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42907 ÷ 217
    42907 ÷ 131072     		y = 0.327354431152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420059204101562 × 2 - 1) × π
    -0.159881591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50228283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327354431152344 × 2 - 1) × π
    0.345291137695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.08476410150225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50228283} λ = -0.50228283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08476410150225))-π/2
    2×atan(2.9587417736692)-π/2
    2×1.24486826682474-π/2
    2.48973653364948-1.57079632675     		φ = 0.91894021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50228283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.778686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91894021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.651396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55058 KachelY 42907 -0.50228283 0.91894021 -28.778686 52.651396
    Oben rechts KachelX + 1 55059 KachelY 42907 -0.50223490 0.91894021 -28.775940 52.651396
    Unten links KachelX 55058 KachelY + 1 42908 -0.50228283 0.91891112 -28.778686 52.649729
    Unten rechts KachelX + 1 55059 KachelY + 1 42908 -0.50223490 0.91891112 -28.775940 52.649729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91894021-0.91891112) × R
    2.90900000000649e-05 × 6371000     		dl = 185.332390000413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91894021-0.91891112) × R
    2.90900000000649e-05 × 6371000     		dr = 185.332390000413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50228283--0.50223490) × cos(0.91894021) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.606662986911636 × 6371000     		do = 185.251841208885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50228283--0.50223490) × cos(0.91891112) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.606686112016072 × 6371000     		du = 185.25890273772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91894021)-sin(0.91891112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606662986911636-0.606686112016072)×R²
    abs(-0.50223490--0.50228283)×2.31251044363612e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.31251044363612e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.31251044363612e-05×40589641000000     		ar = 34333.8208505884m²