Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55058 / 16890
↖ ↑ ↗
← N 78.907101°
W 28.778686°		 ← 58.75 m → N 78.907101°
W 28.775940°		 →
↑
58.80 m
↓
↑
58.80 m
↓
N 78.906572°
W 28.778686°		 ← 58.75 m →
3 455 m²		 N 78.906572°
W 28.775940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420063018798828 y=0.128864288330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420063018798828 × 217)
    floor (0.420063018798828 × 131072)
    floor (55058.5)     		tx = 55058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128864288330078 × 217)
    floor (0.128864288330078 × 131072)
    floor (16890.5)     		ty = 16890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55058 / 16890 ti = "17/55058/16890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55058/16890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55058 ÷ 217
    55058 ÷ 131072     		x = 0.420059204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16890 ÷ 217
    16890 ÷ 131072     		y = 0.128860473632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420059204101562 × 2 - 1) × π
    -0.159881591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50228283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128860473632812 × 2 - 1) × π
    0.742279052734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.33193841891725
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50228283} λ = -0.50228283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33193841891725))-π/2
    2×atan(10.2978838113419)-π/2
    2×1.47399251682173-π/2
    2.94798503364345-1.57079632675     		φ = 1.37718871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50228283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.778686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37718871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.907101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55058 KachelY 16890 -0.50228283 1.37718871 -28.778686 78.907101
    Oben rechts KachelX + 1 55059 KachelY 16890 -0.50223490 1.37718871 -28.775940 78.907101
    Unten links KachelX 55058 KachelY + 1 16891 -0.50228283 1.37717948 -28.778686 78.906572
    Unten rechts KachelX + 1 55059 KachelY + 1 16891 -0.50223490 1.37717948 -28.775940 78.906572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37718871-1.37717948) × R
    9.23000000008223e-06 × 6371000     		dl = 58.8043300005239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37718871-1.37717948) × R
    9.23000000008223e-06 × 6371000     		dr = 58.8043300005239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50228283--0.50223490) × cos(1.37718871) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.192400353274755 × 6371000     		do = 58.7517624485962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50228283--0.50223490) × cos(1.37717948) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.192409410818 × 6371000     		du = 58.7545282783882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37718871)-sin(1.37717948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192400353274755-0.192409410818)×R²
    abs(-0.50223490--0.50228283)×9.05754324462271e-06×R²
    4.79299999999183e-05×9.05754324462271e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×9.05754324462271e-06×40589641000000     		ar = 3454.93934850776m²