Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55055 / 16848
↖ ↑ ↗
← N 78.929273°
W 28.786926°		 ← 58.64 m → N 78.929273°
W 28.784180°		 →
↑
58.61 m
↓
↑
58.61 m
↓
N 78.928746°
W 28.786926°		 ← 58.64 m →
3 437 m²		 N 78.928746°
W 28.784180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420040130615234 y=0.128543853759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420040130615234 × 217)
    floor (0.420040130615234 × 131072)
    floor (55055.5)     		tx = 55055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128543853759766 × 217)
    floor (0.128543853759766 × 131072)
    floor (16848.5)     		ty = 16848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55055 / 16848 ti = "17/55055/16848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55055/16848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55055 ÷ 217
    55055 ÷ 131072     		x = 0.420036315917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16848 ÷ 217
    16848 ÷ 131072     		y = 0.1285400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420036315917969 × 2 - 1) × π
    -0.159927368164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.50242664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1285400390625 × 2 - 1) × π
    0.742919921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.33395176870129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50242664} λ = -0.50242664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33395176870129))-π/2
    2×atan(10.3186379391382)-π/2
    2×1.47418601021624-π/2
    2.94837202043247-1.57079632675     		φ = 1.37757569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50242664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.786926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37757569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.929273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55055 KachelY 16848 -0.50242664 1.37757569 -28.786926 78.929273
    Oben rechts KachelX + 1 55056 KachelY 16848 -0.50237871 1.37757569 -28.784180 78.929273
    Unten links KachelX 55055 KachelY + 1 16849 -0.50242664 1.37756649 -28.786926 78.928746
    Unten rechts KachelX + 1 55056 KachelY + 1 16849 -0.50237871 1.37756649 -28.784180 78.928746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37757569-1.37756649) × R
    9.20000000004251e-06 × 6371000     		dl = 58.6132000002708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37757569-1.37756649) × R
    9.20000000004251e-06 × 6371000     		dr = 58.6132000002708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50242664--0.50237871) × cos(1.37757569) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.192020589012658 × 6371000     		do = 58.6357968627369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50242664--0.50237871) × cos(1.37756649) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.192029617800787 × 6371000     		du = 58.6385539118084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37757569)-sin(1.37756649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192020589012658-0.192029617800787)×R²
    abs(-0.50237871--0.50242664)×9.02878812919505e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.02878812919505e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.02878812919505e-06×40589641000000     		ar = 3436.9124883383m²