Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55051 / 16891
↖ ↑ ↗
← N 78.906572°
W 28.797912°		 ← 58.75 m → N 78.906572°
W 28.795166°		 →
↑
58.74 m
↓
↑
58.74 m
↓
N 78.906044°
W 28.797912°		 ← 58.76 m →
3 451 m²		 N 78.906044°
W 28.795166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420009613037109 y=0.128871917724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420009613037109 × 217)
    floor (0.420009613037109 × 131072)
    floor (55051.5)     		tx = 55051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128871917724609 × 217)
    floor (0.128871917724609 × 131072)
    floor (16891.5)     		ty = 16891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55051 / 16891 ti = "17/55051/16891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55051/16891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55051 ÷ 217
    55051 ÷ 131072     		x = 0.420005798339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16891 ÷ 217
    16891 ÷ 131072     		y = 0.128868103027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420005798339844 × 2 - 1) × π
    -0.159988403320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.50261839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128868103027344 × 2 - 1) × π
    0.742263793945312 × 3.1415926535     		Φ = 2.33189048201763
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50261839} λ = -0.50261839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33189048201763))-π/2
    2×atan(10.2973901745511)-π/2
    2×1.47398790517497-π/2
    2.94797581034994-1.57079632675     		φ = 1.37717948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50261839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.797912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37717948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.906572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55051 KachelY 16891 -0.50261839 1.37717948 -28.797912 78.906572
    Oben rechts KachelX + 1 55052 KachelY 16891 -0.50257046 1.37717948 -28.795166 78.906572
    Unten links KachelX 55051 KachelY + 1 16892 -0.50261839 1.37717026 -28.797912 78.906044
    Unten rechts KachelX + 1 55052 KachelY + 1 16892 -0.50257046 1.37717026 -28.795166 78.906044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37717948-1.37717026) × R
    9.21999999992096e-06 × 6371000     		dl = 58.7406199994964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37717948-1.37717026) × R
    9.21999999992096e-06 × 6371000     		dr = 58.7406199994964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50261839--0.50257046) × cos(1.37717948) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.192409410818 × 6371000     		do = 58.7545282783882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50261839--0.50257046) × cos(1.37717026) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.192418458531723 × 6371000     		du = 58.7572911066175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37717948)-sin(1.37717026))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192409410818-0.192418458531723)×R²
    abs(-0.50257046--0.50261839)×9.04771372292612e-06×R²
    4.79299999999183e-05×9.04771372292612e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×9.04771372292612e-06×40589641000000     		ar = 3451.35856403881m²