Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55051 / 16882
↖ ↑ ↗
← N 78.911327°
W 28.797912°		 ← 58.73 m → N 78.911327°
W 28.795166°		 →
↑
58.74 m
↓
↑
58.74 m
↓
N 78.910799°
W 28.797912°		 ← 58.73 m →
3 450 m²		 N 78.910799°
W 28.795166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420009613037109 y=0.128803253173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420009613037109 × 217)
    floor (0.420009613037109 × 131072)
    floor (55051.5)     		tx = 55051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128803253173828 × 217)
    floor (0.128803253173828 × 131072)
    floor (16882.5)     		ty = 16882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55051 / 16882 ti = "17/55051/16882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55051/16882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55051 ÷ 217
    55051 ÷ 131072     		x = 0.420005798339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16882 ÷ 217
    16882 ÷ 131072     		y = 0.128799438476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420005798339844 × 2 - 1) × π
    -0.159988403320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.50261839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128799438476562 × 2 - 1) × π
    0.742401123046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.33232191411421
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50261839} λ = -0.50261839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33232191411421))-π/2
    2×atan(10.3018337576667)-π/2
    2×1.474029402187-π/2
    2.948058804374-1.57079632675     		φ = 1.37726248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50261839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.797912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37726248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.911327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55051 KachelY 16882 -0.50261839 1.37726248 -28.797912 78.911327
    Oben rechts KachelX + 1 55052 KachelY 16882 -0.50257046 1.37726248 -28.795166 78.911327
    Unten links KachelX 55051 KachelY + 1 16883 -0.50261839 1.37725326 -28.797912 78.910799
    Unten rechts KachelX + 1 55052 KachelY + 1 16883 -0.50257046 1.37725326 -28.795166 78.910799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37726248-1.37725326) × R
    9.21999999992096e-06 × 6371000     		dl = 58.7406199994964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37726248-1.37725326) × R
    9.21999999992096e-06 × 6371000     		dr = 58.7406199994964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50261839--0.50257046) × cos(1.37726248) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.192327961031932 × 6371000     		do = 58.7296566063716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50261839--0.50257046) × cos(1.37725326) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.192337008892871 × 6371000     		du = 58.7324194795549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37726248)-sin(1.37725326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192327961031932-0.192337008892871)×R²
    abs(-0.50257046--0.50261839)×9.04786093844367e-06×R²
    4.79299999999183e-05×9.04786093844367e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×9.04786093844367e-06×40589641000000     		ar = 3449.89758804062m²