Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55050 / 18670
↖ ↑ ↗
← N 77.926015°
W 28.800659°		 ← 63.89 m → N 77.926015°
W 28.797912°		 →
↑
63.90 m
↓
↑
63.90 m
↓
N 77.925440°
W 28.800659°		 ← 63.89 m →
4 083 m²		 N 77.925440°
W 28.797912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420001983642578 y=0.142444610595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420001983642578 × 217)
    floor (0.420001983642578 × 131072)
    floor (55050.5)     		tx = 55050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142444610595703 × 217)
    floor (0.142444610595703 × 131072)
    floor (18670.5)     		ty = 18670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55050 / 18670 ti = "17/55050/18670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55050/18670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55050 ÷ 217
    55050 ÷ 131072     		x = 0.419998168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18670 ÷ 217
    18670 ÷ 131072     		y = 0.142440795898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419998168945312 × 2 - 1) × π
    -0.160003662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50266633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142440795898438 × 2 - 1) × π
    0.715118408203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24661073759355
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50266633} λ = -0.50266633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24661073759355))-π/2
    2×atan(9.45563384173771)-π/2
    2×1.46543092745777-π/2
    2.93086185491553-1.57079632675     		φ = 1.36006553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50266633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.800659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36006553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.926015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55050 KachelY 18670 -0.50266633 1.36006553 -28.800659 77.926015
    Oben rechts KachelX + 1 55051 KachelY 18670 -0.50261839 1.36006553 -28.797912 77.926015
    Unten links KachelX 55050 KachelY + 1 18671 -0.50266633 1.36005550 -28.800659 77.925440
    Unten rechts KachelX + 1 55051 KachelY + 1 18671 -0.50261839 1.36005550 -28.797912 77.925440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36006553-1.36005550) × R
    1.00299999998832e-05 × 6371000     		dl = 63.9011299992558m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36006553-1.36005550) × R
    1.00299999998832e-05 × 6371000     		dr = 63.9011299992558m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50266633--0.50261839) × cos(1.36006553) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.209174585974813 × 6371000     		do = 63.887302710657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50266633--0.50261839) × cos(1.36005550) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.209184394083758 × 6371000     		du = 63.8902983595896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36006553)-sin(1.36005550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209174585974813-0.209184394083758)×R²
    abs(-0.50261839--0.50266633)×9.80810894493644e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.80810894493644e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.80810894493644e-06×40589641000000     		ar = 4082.56654867081m²