Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55050 / 16890
↖ ↑ ↗
← N 78.907101°
W 28.800659°		 ← 58.76 m → N 78.907101°
W 28.797912°		 →
↑
58.80 m
↓
↑
58.80 m
↓
N 78.906572°
W 28.800659°		 ← 58.77 m →
3 456 m²		 N 78.906572°
W 28.797912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420001983642578 y=0.128864288330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420001983642578 × 217)
    floor (0.420001983642578 × 131072)
    floor (55050.5)     		tx = 55050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128864288330078 × 217)
    floor (0.128864288330078 × 131072)
    floor (16890.5)     		ty = 16890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55050 / 16890 ti = "17/55050/16890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55050/16890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55050 ÷ 217
    55050 ÷ 131072     		x = 0.419998168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16890 ÷ 217
    16890 ÷ 131072     		y = 0.128860473632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419998168945312 × 2 - 1) × π
    -0.160003662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50266633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128860473632812 × 2 - 1) × π
    0.742279052734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.33193841891725
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50266633} λ = -0.50266633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33193841891725))-π/2
    2×atan(10.2978838113419)-π/2
    2×1.47399251682173-π/2
    2.94798503364345-1.57079632675     		φ = 1.37718871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50266633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.800659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37718871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.907101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55050 KachelY 16890 -0.50266633 1.37718871 -28.800659 78.907101
    Oben rechts KachelX + 1 55051 KachelY 16890 -0.50261839 1.37718871 -28.797912 78.907101
    Unten links KachelX 55050 KachelY + 1 16891 -0.50266633 1.37717948 -28.800659 78.906572
    Unten rechts KachelX + 1 55051 KachelY + 1 16891 -0.50261839 1.37717948 -28.797912 78.906572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37718871-1.37717948) × R
    9.23000000008223e-06 × 6371000     		dl = 58.8043300005239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37718871-1.37717948) × R
    9.23000000008223e-06 × 6371000     		dr = 58.8043300005239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50266633--0.50261839) × cos(1.37718871) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.192400353274755 × 6371000     		do = 58.7640202753011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50266633--0.50261839) × cos(1.37717948) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.192409410818 × 6371000     		du = 58.7667866821491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37718871)-sin(1.37717948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192400353274755-0.192409410818)×R²
    abs(-0.50261839--0.50266633)×9.05754324462271e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.05754324462271e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.05754324462271e-06×40589641000000     		ar = 3455.6601787611m²