Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55049 / 16893
↖ ↑ ↗
← N 78.905515°
W 28.803406°		 ← 58.77 m → N 78.905515°
W 28.800659°		 →
↑
58.80 m
↓
↑
58.80 m
↓
N 78.904986°
W 28.803406°		 ← 58.78 m →
3 456 m²		 N 78.904986°
W 28.800659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419994354248047 y=0.128887176513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419994354248047 × 217)
    floor (0.419994354248047 × 131072)
    floor (55049.5)     		tx = 55049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128887176513672 × 217)
    floor (0.128887176513672 × 131072)
    floor (16893.5)     		ty = 16893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55049 / 16893 ti = "17/55049/16893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55049/16893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55049 ÷ 217
    55049 ÷ 131072     		x = 0.419990539550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16893 ÷ 217
    16893 ÷ 131072     		y = 0.128883361816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419990539550781 × 2 - 1) × π
    -0.160018920898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.50271427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128883361816406 × 2 - 1) × π
    0.742233276367188 × 3.1415926535     		Φ = 2.33179460821839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50271427} λ = -0.50271427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33179460821839))-π/2
    2×atan(10.296402971957)-π/2
    2×1.47397868123063-π/2
    2.94795736246126-1.57079632675     		φ = 1.37716104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50271427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.803406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37716104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.905515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55049 KachelY 16893 -0.50271427 1.37716104 -28.803406 78.905515
    Oben rechts KachelX + 1 55050 KachelY 16893 -0.50266633 1.37716104 -28.800659 78.905515
    Unten links KachelX 55049 KachelY + 1 16894 -0.50271427 1.37715181 -28.803406 78.904986
    Unten rechts KachelX + 1 55050 KachelY + 1 16894 -0.50266633 1.37715181 -28.800659 78.904986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37716104-1.37715181) × R
    9.23000000008223e-06 × 6371000     		dl = 58.8043300005239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37716104-1.37715181) × R
    9.23000000008223e-06 × 6371000     		dr = 58.8043300005239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50271427--0.50266633) × cos(1.37716104) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.192427506229088 × 6371000     		do = 58.7723134863354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50271427--0.50266633) × cos(1.37715181) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.192436563723191 × 6371000     		du = 58.7750798781741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37716104)-sin(1.37715181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192427506229088-0.192436563723191)×R²
    abs(-0.50266633--0.50271427)×9.05749410209933e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.05749410209933e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.05749410209933e-06×40589641000000     		ar = 3456.14785521889m²