Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55042 / 17642
↖ ↑ ↗
← N 78.502602°
W 28.822632°		 ← 60.87 m → N 78.502602°
W 28.819885°		 →
↑
60.91 m
↓
↑
60.91 m
↓
N 78.502054°
W 28.822632°		 ← 60.87 m →
3 707 m²		 N 78.502054°
W 28.819885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419940948486328 y=0.134601593017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419940948486328 × 217)
    floor (0.419940948486328 × 131072)
    floor (55042.5)     		tx = 55042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134601593017578 × 217)
    floor (0.134601593017578 × 131072)
    floor (17642.5)     		ty = 17642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55042 / 17642 ti = "17/55042/17642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55042/17642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55042 ÷ 217
    55042 ÷ 131072     		x = 0.419937133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17642 ÷ 217
    17642 ÷ 131072     		y = 0.134597778320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419937133789062 × 2 - 1) × π
    -0.160125732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50304982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134597778320312 × 2 - 1) × π
    0.730804443359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.29588987040297
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50304982} λ = -0.50304982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29588987040297))-π/2
    2×atan(9.93327140475293)-π/2
    2×1.47046260124115-π/2
    2.94092520248231-1.57079632675     		φ = 1.37012888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50304982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.822632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37012888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.502602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55042 KachelY 17642 -0.50304982 1.37012888 -28.822632 78.502602
    Oben rechts KachelX + 1 55043 KachelY 17642 -0.50300189 1.37012888 -28.819885 78.502602
    Unten links KachelX 55042 KachelY + 1 17643 -0.50304982 1.37011932 -28.822632 78.502054
    Unten rechts KachelX + 1 55043 KachelY + 1 17643 -0.50300189 1.37011932 -28.819885 78.502054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37012888-1.37011932) × R
    9.56000000007506e-06 × 6371000     		dl = 60.9067600004782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37012888-1.37011932) × R
    9.56000000007506e-06 × 6371000     		dr = 60.9067600004782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50304982--0.50300189) × cos(1.37012888) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.199323428790534 × 6371000     		do = 60.8658068420752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50304982--0.50300189) × cos(1.37011932) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.199332796948155 × 6371000     		du = 60.8686675217038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37012888)-sin(1.37011932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199323428790534-0.199332796948155)×R²
    abs(-0.50300189--0.50304982)×9.36815762120347e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.36815762120347e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.36815762120347e-06×40589641000000     		ar = 3707.22620694465m²