Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55040 / 18678
↖ ↑ ↗
← N 77.921418°
W 28.828125°		 ← 63.91 m → N 77.921418°
W 28.825378°		 →
↑
63.96 m
↓
↑
63.96 m
↓
N 77.920843°
W 28.828125°		 ← 63.91 m →
4 088 m²		 N 77.920843°
W 28.825378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419925689697266 y=0.142505645751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419925689697266 × 217)
    floor (0.419925689697266 × 131072)
    floor (55040.5)     		tx = 55040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142505645751953 × 217)
    floor (0.142505645751953 × 131072)
    floor (18678.5)     		ty = 18678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55040 / 18678 ti = "17/55040/18678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55040/18678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55040 ÷ 217
    55040 ÷ 131072     		x = 0.419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18678 ÷ 217
    18678 ÷ 131072     		y = 0.142501831054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419921875 × 2 - 1) × π
    -0.16015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50314570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142501831054688 × 2 - 1) × π
    0.714996337890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24622724239659
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50314570} λ = -0.50314570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24622724239659))-π/2
    2×atan(9.45200834679957)-π/2
    2×1.46539081121137-π/2
    2.93078162242274-1.57079632675     		φ = 1.35998530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50314570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.828125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35998530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.921418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55040 KachelY 18678 -0.50314570 1.35998530 -28.828125 77.921418
    Oben rechts KachelX + 1 55041 KachelY 18678 -0.50309776 1.35998530 -28.825378 77.921418
    Unten links KachelX 55040 KachelY + 1 18679 -0.50314570 1.35997526 -28.828125 77.920843
    Unten rechts KachelX + 1 55041 KachelY + 1 18679 -0.50309776 1.35997526 -28.825378 77.920843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35998530-1.35997526) × R
    1.00400000000445e-05 × 6371000     		dl = 63.9648400002832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35998530-1.35997526) × R
    1.00400000000445e-05 × 6371000     		dr = 63.9648400002832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50314570--0.50309776) × cos(1.35998530) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.209253040478467 × 6371000     		do = 63.911264735492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50314570--0.50309776) × cos(1.35997526) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.209262858197647 × 6371000     		du = 63.9142633196375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35998530)-sin(1.35997526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209253040478467-0.209262858197647)×R²
    abs(-0.50309776--0.50314570)×9.81771917962782e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.81771917962782e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.81771917962782e-06×40589641000000     		ar = 4088.16972518037m²