Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 5504 / 6529
↖ ↑ ↗
← N 34.288992°
W 59.062500°		 ← 2 018.65 m → N 34.288992°
W 59.040527°		 →
↑
2 018.91 m
↓
↑
2 018.91 m
↓
N 34.270836°
W 59.062500°		 ← 2 019.09 m →
4 075 911 m²		 N 34.270836°
W 59.040527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.335968017578125 y=0.398529052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.335968017578125 × 214)
    floor (0.335968017578125 × 16384)
    floor (5504.5)     		tx = 5504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.398529052734375 × 214)
    floor (0.398529052734375 × 16384)
    floor (6529.5)     		ty = 6529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5504 / 6529 ti = "14/5504/6529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5504/6529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5504 ÷ 214
    5504 ÷ 16384     		x = 0.3359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6529 ÷ 214
    6529 ÷ 16384     		y = 0.39849853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3359375 × 2 - 1) × π
    -0.328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.03083509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.39849853515625 × 2 - 1) × π
    0.2030029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.637752512545227
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.03083509} λ = -1.03083509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.637752512545227))-π/2
    2×atan(1.89222334848618)-π/2
    2×1.08462606600715-π/2
    2.16925213201429-1.57079632675     		φ = 0.59845581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.03083509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -59.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.59845581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.288992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5504 KachelY 6529 -1.03083509 0.59845581 -59.062500 34.288992
    Oben rechts KachelX + 1 5505 KachelY 6529 -1.03045159 0.59845581 -59.040527 34.288992
    Unten links KachelX 5504 KachelY + 1 6530 -1.03083509 0.59813892 -59.062500 34.270836
    Unten rechts KachelX + 1 5505 KachelY + 1 6530 -1.03045159 0.59813892 -59.040527 34.270836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.59845581-0.59813892) × R
    0.000316890000000014 × 6371000     		dl = 2018.90619000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.59845581-0.59813892) × R
    0.000316890000000014 × 6371000     		dr = 2018.90619000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.03083509--1.03045159) × cos(0.59845581) × R
    0.000383500000000092 × 0.826206545808571 × 6371000     		do = 2018.65268993383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.03083509--1.03045159) × cos(0.59813892) × R
    0.000383500000000092 × 0.826385029793894 × 6371000     		du = 2019.08877601777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.59845581)-sin(0.59813892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.826206545808571-0.826385029793894)×R²
    abs(-1.03045159--1.03083509)×0.000178483985322608×R²
    0.000383500000000092×0.000178483985322608×6371000²
    0.000383500000000092×0.000178483985322608×40589641000000     		ar = 4075910.65372295m²