Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55039 / 42955
↖ ↑ ↗
← N 52.571343°
W 28.830872°		 ← 185.63 m → N 52.571343°
W 28.828125°		 →
↑
185.65 m
↓
↑
185.65 m
↓
N 52.569673°
W 28.830872°		 ← 185.64 m →
34 463 m²		 N 52.569673°
W 28.828125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419918060302734 y=0.327724456787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419918060302734 × 217)
    floor (0.419918060302734 × 131072)
    floor (55039.5)     		tx = 55039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327724456787109 × 217)
    floor (0.327724456787109 × 131072)
    floor (42955.5)     		ty = 42955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55039 / 42955 ti = "17/55039/42955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55039/42955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55039 ÷ 217
    55039 ÷ 131072     		x = 0.419914245605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42955 ÷ 217
    42955 ÷ 131072     		y = 0.327720642089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419914245605469 × 2 - 1) × π
    -0.160171508789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.50319364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327720642089844 × 2 - 1) × π
    0.344558715820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.08246313032049
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50319364} λ = -0.50319364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08246313032049))-π/2
    2×atan(2.95194162059211)-π/2
    2×1.24416967129086-π/2
    2.48833934258172-1.57079632675     		φ = 0.91754302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50319364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.830872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91754302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.571343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55039 KachelY 42955 -0.50319364 0.91754302 -28.830872 52.571343
    Oben rechts KachelX + 1 55040 KachelY 42955 -0.50314570 0.91754302 -28.828125 52.571343
    Unten links KachelX 55039 KachelY + 1 42956 -0.50319364 0.91751388 -28.830872 52.569673
    Unten rechts KachelX + 1 55040 KachelY + 1 42956 -0.50314570 0.91751388 -28.828125 52.569673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91754302-0.91751388) × R
    2.91399999999831e-05 × 6371000     		dl = 185.650939999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91754302-0.91751388) × R
    2.91399999999831e-05 × 6371000     		dr = 185.650939999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50319364--0.50314570) × cos(0.91754302) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.607773103353396 × 6371000     		do = 185.629549843686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50319364--0.50314570) × cos(0.91751388) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.607796243482084 × 6371000     		du = 185.636617434614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91754302)-sin(0.91751388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607773103353396-0.607796243482084)×R²
    abs(-0.50314570--0.50319364)×2.31401286879818e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31401286879818e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31401286879818e-05×40589641000000     		ar = 34462.9564750551m²