Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55038 / 42958
↖ ↑ ↗
← N 52.566334°
W 28.833618°		 ← 185.61 m → N 52.566334°
W 28.830872°		 →
↑
185.65 m
↓
↑
185.65 m
↓
N 52.564665°
W 28.833618°		 ← 185.62 m →
34 460 m²		 N 52.564665°
W 28.830872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419910430908203 y=0.327747344970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419910430908203 × 217)
    floor (0.419910430908203 × 131072)
    floor (55038.5)     		tx = 55038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327747344970703 × 217)
    floor (0.327747344970703 × 131072)
    floor (42958.5)     		ty = 42958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55038 / 42958 ti = "17/55038/42958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55038/42958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55038 ÷ 217
    55038 ÷ 131072     		x = 0.419906616210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42958 ÷ 217
    42958 ÷ 131072     		y = 0.327743530273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419906616210938 × 2 - 1) × π
    -0.160186767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50324157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327743530273438 × 2 - 1) × π
    0.344512939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08231931962163
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50324157} λ = -0.50324157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08231931962163))-π/2
    2×atan(2.95151713032851)-π/2
    2×1.24412596665778-π/2
    2.48825193331556-1.57079632675     		φ = 0.91745561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50324157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.833618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91745561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.566334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55038 KachelY 42958 -0.50324157 0.91745561 -28.833618 52.566334
    Oben rechts KachelX + 1 55039 KachelY 42958 -0.50319364 0.91745561 -28.830872 52.566334
    Unten links KachelX 55038 KachelY + 1 42959 -0.50324157 0.91742647 -28.833618 52.564665
    Unten rechts KachelX + 1 55039 KachelY + 1 42959 -0.50319364 0.91742647 -28.830872 52.564665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91745561-0.91742647) × R
    2.91399999999831e-05 × 6371000     		dl = 185.650939999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91745561-0.91742647) × R
    2.91399999999831e-05 × 6371000     		dr = 185.650939999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50324157--0.50319364) × cos(0.91745561) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.607842514250553 × 6371000     		do = 185.612024071966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50324157--0.50319364) × cos(0.91742647) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.607865652831048 × 6371000     		du = 185.619089715878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91745561)-sin(0.91742647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607842514250553-0.607865652831048)×R²
    abs(-0.50319364--0.50324157)×2.31385804947415e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31385804947415e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31385804947415e-05×40589641000000     		ar = 34459.7026182922m²