Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55024 / 42959
↖ ↑ ↗
← N 52.564665°
W 28.872070°		 ← 185.66 m → N 52.564665°
W 28.869324°		 →
↑
185.65 m
↓
↑
185.65 m
↓
N 52.562995°
W 28.872070°		 ← 185.66 m →
34 468 m²		 N 52.562995°
W 28.869324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419803619384766 y=0.327754974365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419803619384766 × 217)
    floor (0.419803619384766 × 131072)
    floor (55024.5)     		tx = 55024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327754974365234 × 217)
    floor (0.327754974365234 × 131072)
    floor (42959.5)     		ty = 42959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55024 / 42959 ti = "17/55024/42959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55024/42959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55024 ÷ 217
    55024 ÷ 131072     		x = 0.4197998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42959 ÷ 217
    42959 ÷ 131072     		y = 0.327751159667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4197998046875 × 2 - 1) × π
    -0.160400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50391269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327751159667969 × 2 - 1) × π
    0.344497680664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.08227138272201
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50391269} λ = -0.50391269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08227138272201))-π/2
    2×atan(2.95137564713926)-π/2
    2×1.24411139733763-π/2
    2.48822279467527-1.57079632675     		φ = 0.91742647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50391269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.872070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91742647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.564665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55024 KachelY 42959 -0.50391269 0.91742647 -28.872070 52.564665
    Oben rechts KachelX + 1 55025 KachelY 42959 -0.50386475 0.91742647 -28.869324 52.564665
    Unten links KachelX 55024 KachelY + 1 42960 -0.50391269 0.91739733 -28.872070 52.562995
    Unten rechts KachelX + 1 55025 KachelY + 1 42960 -0.50386475 0.91739733 -28.869324 52.562995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91742647-0.91739733) × R
    2.91399999999831e-05 × 6371000     		dl = 185.650939999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91742647-0.91739733) × R
    2.91399999999831e-05 × 6371000     		dr = 185.650939999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50391269--0.50386475) × cos(0.91742647) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.607865652831048 × 6371000     		do = 185.657816836814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50391269--0.50386475) × cos(0.91739733) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.60788879089538 × 6371000     		du = 185.664883797235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91742647)-sin(0.91739733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607865652831048-0.60788879089538)×R²
    abs(-0.50386475--0.50391269)×2.31380643318513e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.31380643318513e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.31380643318513e-05×40589641000000     		ar = 34468.2042104371m²