Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55022 / 17645
↖ ↑ ↗
← N 78.500960°
W 28.877563°		 ← 60.87 m → N 78.500960°
W 28.874817°		 →
↑
60.91 m
↓
↑
60.91 m
↓
N 78.500412°
W 28.877563°		 ← 60.88 m →
3 708 m²		 N 78.500412°
W 28.874817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419788360595703 y=0.134624481201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419788360595703 × 217)
    floor (0.419788360595703 × 131072)
    floor (55022.5)     		tx = 55022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134624481201172 × 217)
    floor (0.134624481201172 × 131072)
    floor (17645.5)     		ty = 17645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55022 / 17645 ti = "17/55022/17645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55022/17645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55022 ÷ 217
    55022 ÷ 131072     		x = 0.419784545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17645 ÷ 217
    17645 ÷ 131072     		y = 0.134620666503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419784545898438 × 2 - 1) × π
    -0.160430908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50400856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134620666503906 × 2 - 1) × π
    0.730758666992188 × 3.1415926535     		Φ = 2.29574605970411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50400856} λ = -0.50400856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29574605970411))-π/2
    2×atan(9.93184299676288)-π/2
    2×1.47044826781011-π/2
    2.94089653562022-1.57079632675     		φ = 1.37010021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50400856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.877563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37010021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.500960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55022 KachelY 17645 -0.50400856 1.37010021 -28.877563 78.500960
    Oben rechts KachelX + 1 55023 KachelY 17645 -0.50396063 1.37010021 -28.874817 78.500960
    Unten links KachelX 55022 KachelY + 1 17646 -0.50400856 1.37009065 -28.877563 78.500412
    Unten rechts KachelX + 1 55023 KachelY + 1 17646 -0.50396063 1.37009065 -28.874817 78.500412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37010021-1.37009065) × R
    9.55999999985302e-06 × 6371000     		dl = 60.9067599990636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37010021-1.37009065) × R
    9.55999999985302e-06 × 6371000     		dr = 60.9067599990636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50400856--0.50396063) × cos(1.37010021) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.199351523409463 × 6371000     		do = 60.8743858719435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50400856--0.50396063) × cos(1.37009065) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.199360891512447 × 6371000     		du = 60.877246534888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37010021)-sin(1.37009065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199351523409463-0.199360891512447)×R²
    abs(-0.50396063--0.50400856)×9.3681029842696e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.3681029842696e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.3681029842696e-06×40589641000000     		ar = 3707.7487272917m²