Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55020 / 19034
↖ ↑ ↗
← N 77.715098°
W 28.883057°		 ← 64.99 m → N 77.715098°
W 28.880310°		 →
↑
64.98 m
↓
↑
64.98 m
↓
N 77.714513°
W 28.883057°		 ← 64.99 m →
4 223 m²		 N 77.714513°
W 28.880310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419773101806641 y=0.145221710205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419773101806641 × 217)
    floor (0.419773101806641 × 131072)
    floor (55020.5)     		tx = 55020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145221710205078 × 217)
    floor (0.145221710205078 × 131072)
    floor (19034.5)     		ty = 19034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55020 / 19034 ti = "17/55020/19034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55020/19034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55020 ÷ 217
    55020 ÷ 131072     		x = 0.419769287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19034 ÷ 217
    19034 ÷ 131072     		y = 0.145217895507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419769287109375 × 2 - 1) × π
    -0.16046142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50410444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145217895507812 × 2 - 1) × π
    0.709564208984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.22916170613185
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50410444} λ = -0.50410444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22916170613185))-π/2
    2×atan(9.29207332553983)-π/2
    2×1.46359032611959-π/2
    2.92718065223918-1.57079632675     		φ = 1.35638433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50410444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.883057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35638433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.715098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55020 KachelY 19034 -0.50410444 1.35638433 -28.883057 77.715098
    Oben rechts KachelX + 1 55021 KachelY 19034 -0.50405650 1.35638433 -28.880310 77.715098
    Unten links KachelX 55020 KachelY + 1 19035 -0.50410444 1.35637413 -28.883057 77.714513
    Unten rechts KachelX + 1 55021 KachelY + 1 19035 -0.50405650 1.35637413 -28.880310 77.714513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35638433-1.35637413) × R
    1.01999999999602e-05 × 6371000     		dl = 64.9841999997467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35638433-1.35637413) × R
    1.01999999999602e-05 × 6371000     		dr = 64.9841999997467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50410444--0.50405650) × cos(1.35638433) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212772926200584 × 6371000     		do = 64.9863284367361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50410444--0.50405650) × cos(1.35637413) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212782892626593 × 6371000     		du = 64.9893724397751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35638433)-sin(1.35637413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212772926200584-0.212782892626593)×R²
    abs(-0.50405650--0.50410444)×9.96642600897824e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.96642600897824e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.96642600897824e-06×40589641000000     		ar = 4223.18347058508m²