Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55020 / 17378
↖ ↑ ↗
← N 78.646238°
W 28.883057°		 ← 60.13 m → N 78.646238°
W 28.880310°		 →
↑
60.14 m
↓
↑
60.14 m
↓
N 78.645697°
W 28.883057°		 ← 60.13 m →
3 616 m²		 N 78.645697°
W 28.880310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419773101806641 y=0.132587432861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419773101806641 × 217)
    floor (0.419773101806641 × 131072)
    floor (55020.5)     		tx = 55020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132587432861328 × 217)
    floor (0.132587432861328 × 131072)
    floor (17378.5)     		ty = 17378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55020 / 17378 ti = "17/55020/17378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55020/17378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55020 ÷ 217
    55020 ÷ 131072     		x = 0.419769287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17378 ÷ 217
    17378 ÷ 131072     		y = 0.132583618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419769287109375 × 2 - 1) × π
    -0.16046142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50410444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132583618164062 × 2 - 1) × π
    0.734832763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.30854521190266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50410444} λ = -0.50410444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30854521190266))-π/2
    2×atan(10.0597791575686)-π/2
    2×1.47171606456048-π/2
    2.94343212912096-1.57079632675     		φ = 1.37263580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50410444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.883057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37263580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.646238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55020 KachelY 17378 -0.50410444 1.37263580 -28.883057 78.646238
    Oben rechts KachelX + 1 55021 KachelY 17378 -0.50405650 1.37263580 -28.880310 78.646238
    Unten links KachelX 55020 KachelY + 1 17379 -0.50410444 1.37262636 -28.883057 78.645697
    Unten rechts KachelX + 1 55021 KachelY + 1 17379 -0.50405650 1.37262636 -28.880310 78.645697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37263580-1.37262636) × R
    9.44000000013823e-06 × 6371000     		dl = 60.1422400008806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37263580-1.37262636) × R
    9.44000000013823e-06 × 6371000     		dr = 60.1422400008806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50410444--0.50405650) × cos(1.37263580) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19686618948778 × 6371000     		do = 60.1280016052461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50410444--0.50405650) × cos(1.37262636) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196875444741668 × 6371000     		du = 60.1308283980136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37263580)-sin(1.37262636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19686618948778-0.196875444741668)×R²
    abs(-0.50405650--0.50410444)×9.25525388745241e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.25525388745241e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.25525388745241e-06×40589641000000     		ar = 3616.31770814591m²