Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55018 / 42962
↖ ↑ ↗
← N 52.559656°
W 28.888550°		 ← 185.68 m → N 52.559656°
W 28.885803°		 →
↑
185.71 m
↓
↑
185.71 m
↓
N 52.557986°
W 28.888550°		 ← 185.69 m →
34 484 m²		 N 52.557986°
W 28.885803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419757843017578 y=0.327777862548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419757843017578 × 217)
    floor (0.419757843017578 × 131072)
    floor (55018.5)     		tx = 55018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327777862548828 × 217)
    floor (0.327777862548828 × 131072)
    floor (42962.5)     		ty = 42962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55018 / 42962 ti = "17/55018/42962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55018/42962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55018 ÷ 217
    55018 ÷ 131072     		x = 0.419754028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42962 ÷ 217
    42962 ÷ 131072     		y = 0.327774047851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419754028320312 × 2 - 1) × π
    -0.160491943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50420031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327774047851562 × 2 - 1) × π
    0.344451904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08212757202315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50420031} λ = -0.50420031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08212757202315))-π/2
    2×atan(2.95095123826285)-π/2
    2×1.24406768604972-π/2
    2.48813537209943-1.57079632675     		φ = 0.91733905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50420031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.888550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91733905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.559656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55018 KachelY 42962 -0.50420031 0.91733905 -28.888550 52.559656
    Oben rechts KachelX + 1 55019 KachelY 42962 -0.50415237 0.91733905 -28.885803 52.559656
    Unten links KachelX 55018 KachelY + 1 42963 -0.50420031 0.91730990 -28.888550 52.557986
    Unten rechts KachelX + 1 55019 KachelY + 1 42963 -0.50415237 0.91730990 -28.885803 52.557986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91733905-0.91730990) × R
    2.91500000000333e-05 × 6371000     		dl = 185.714650000212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91733905-0.91730990) × R
    2.91500000000333e-05 × 6371000     		dr = 185.714650000212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50420031--0.50415237) × cos(0.91733905) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.607935065475477 × 6371000     		do = 185.679017244674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50420031--0.50415237) × cos(0.91730990) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.607958209930893 × 6371000     		du = 185.686086157096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91733905)-sin(0.91730990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607935065475477-0.607958209930893)×R²
    abs(-0.50415237--0.50420031)×2.31444554159577e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31444554159577e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31444554159577e-05×40589641000000     		ar = 34483.9701027133m²