Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55016 / 18726
↖ ↑ ↗
← N 77.893800°
W 28.894043°		 ← 64.04 m → N 77.893800°
W 28.891297°		 →
↑
64.09 m
↓
↑
64.09 m
↓
N 77.893223°
W 28.894043°		 ← 64.04 m →
4 105 m²		 N 77.893223°
W 28.891297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419742584228516 y=0.142871856689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419742584228516 × 217)
    floor (0.419742584228516 × 131072)
    floor (55016.5)     		tx = 55016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142871856689453 × 217)
    floor (0.142871856689453 × 131072)
    floor (18726.5)     		ty = 18726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55016 / 18726 ti = "17/55016/18726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55016/18726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55016 ÷ 217
    55016 ÷ 131072     		x = 0.41973876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18726 ÷ 217
    18726 ÷ 131072     		y = 0.142868041992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41973876953125 × 2 - 1) × π
    -0.1605224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50429618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142868041992188 × 2 - 1) × π
    0.714263916015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24392627121483
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50429618} λ = -0.50429618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24392627121483))-π/2
    2×atan(9.4302845504831)-π/2
    2×1.46514979756542-π/2
    2.93029959513085-1.57079632675     		φ = 1.35950327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50429618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.894043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35950327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.893800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55016 KachelY 18726 -0.50429618 1.35950327 -28.894043 77.893800
    Oben rechts KachelX + 1 55017 KachelY 18726 -0.50424825 1.35950327 -28.891297 77.893800
    Unten links KachelX 55016 KachelY + 1 18727 -0.50429618 1.35949321 -28.894043 77.893223
    Unten rechts KachelX + 1 55017 KachelY + 1 18727 -0.50424825 1.35949321 -28.891297 77.893223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35950327-1.35949321) × R
    1.0060000000145e-05 × 6371000     		dl = 64.0922600009235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35950327-1.35949321) × R
    1.0060000000145e-05 × 6371000     		dr = 64.0922600009235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50429618--0.50424825) × cos(1.35950327) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.209724374741566 × 6371000     		do = 64.0418608116045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50429618--0.50424825) × cos(1.35949321) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.209734211002053 × 6371000     		du = 64.0448644320744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35950327)-sin(1.35949321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209724374741566-0.209734211002053)×R²
    abs(-0.50424825--0.50429618)×9.83626048714492e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.83626048714492e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.83626048714492e-06×40589641000000     		ar = 4104.68384857354m²