Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55016 / 17422
↖ ↑ ↗
← N 78.622423°
W 28.894043°		 ← 60.24 m → N 78.622423°
W 28.891297°		 →
↑
60.27 m
↓
↑
60.27 m
↓
N 78.621881°
W 28.894043°		 ← 60.24 m →
3 631 m²		 N 78.621881°
W 28.891297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419742584228516 y=0.132923126220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419742584228516 × 217)
    floor (0.419742584228516 × 131072)
    floor (55016.5)     		tx = 55016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132923126220703 × 217)
    floor (0.132923126220703 × 131072)
    floor (17422.5)     		ty = 17422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55016 / 17422 ti = "17/55016/17422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55016/17422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55016 ÷ 217
    55016 ÷ 131072     		x = 0.41973876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17422 ÷ 217
    17422 ÷ 131072     		y = 0.132919311523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41973876953125 × 2 - 1) × π
    -0.1605224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50429618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132919311523438 × 2 - 1) × π
    0.734161376953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.30643598831938
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50429618} λ = -0.50429618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30643598831938))-π/2
    2×atan(10.0385831954965)-π/2
    2×1.47150823234513-π/2
    2.94301646469026-1.57079632675     		φ = 1.37222014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50429618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.894043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37222014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.622423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55016 KachelY 17422 -0.50429618 1.37222014 -28.894043 78.622423
    Oben rechts KachelX + 1 55017 KachelY 17422 -0.50424825 1.37222014 -28.891297 78.622423
    Unten links KachelX 55016 KachelY + 1 17423 -0.50429618 1.37221068 -28.894043 78.621881
    Unten rechts KachelX + 1 55017 KachelY + 1 17423 -0.50424825 1.37221068 -28.891297 78.621881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37222014-1.37221068) × R
    9.46000000001668e-06 × 6371000     		dl = 60.2696600001062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37222014-1.37221068) × R
    9.46000000001668e-06 × 6371000     		dr = 60.2696600001062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50429618--0.50424825) × cos(1.37222014) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.197273698155556 × 6371000     		do = 60.2398969344246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50429618--0.50424825) × cos(1.37221068) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.197282972243088 × 6371000     		du = 60.2427288886198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37222014)-sin(1.37221068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197273698155556-0.197282972243088)×R²
    abs(-0.50424825--0.50429618)×9.27408753190195e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.27408753190195e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.27408753190195e-06×40589641000000     		ar = 3630.72344713204m²