Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55015 / 19025
↖ ↑ ↗
← N 77.720356°
W 28.896789°		 ← 64.96 m → N 77.720356°
W 28.894043°		 →
↑
64.92 m
↓
↑
64.92 m
↓
N 77.719772°
W 28.896789°		 ← 64.96 m →
4 217 m²		 N 77.719772°
W 28.894043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419734954833984 y=0.145153045654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419734954833984 × 217)
    floor (0.419734954833984 × 131072)
    floor (55015.5)     		tx = 55015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145153045654297 × 217)
    floor (0.145153045654297 × 131072)
    floor (19025.5)     		ty = 19025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55015 / 19025 ti = "17/55015/19025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55015/19025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55015 ÷ 217
    55015 ÷ 131072     		x = 0.419731140136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19025 ÷ 217
    19025 ÷ 131072     		y = 0.145149230957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419731140136719 × 2 - 1) × π
    -0.160537719726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.50434412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145149230957031 × 2 - 1) × π
    0.709701538085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.22959313822843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50434412} λ = -0.50434412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22959313822843))-π/2
    2×atan(9.2960830891244)-π/2
    2×1.46363621498233-π/2
    2.92727242996467-1.57079632675     		φ = 1.35647610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50434412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.896789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35647610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.720356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55015 KachelY 19025 -0.50434412 1.35647610 -28.896789 77.720356
    Oben rechts KachelX + 1 55016 KachelY 19025 -0.50429618 1.35647610 -28.894043 77.720356
    Unten links KachelX 55015 KachelY + 1 19026 -0.50434412 1.35646591 -28.896789 77.719772
    Unten rechts KachelX + 1 55016 KachelY + 1 19026 -0.50429618 1.35646591 -28.894043 77.719772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35647610-1.35646591) × R
    1.0190000000021e-05 × 6371000     		dl = 64.9204900001339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35647610-1.35646591) × R
    1.0190000000021e-05 × 6371000     		dr = 64.9204900001339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50434412--0.50429618) × cos(1.35647610) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212683256684103 × 6371000     		do = 64.9589410583095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50434412--0.50429618) × cos(1.35646591) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212693213538051 × 6371000     		du = 64.9619821377948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35647610)-sin(1.35646591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212683256684103-0.212693213538051)×R²
    abs(-0.50429618--0.50434412)×9.95685394838963e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.95685394838963e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.95685394838963e-06×40589641000000     		ar = 4217.26499751214m²