Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55015 / 17420
↖ ↑ ↗
← N 78.623506°
W 28.896789°		 ← 60.25 m → N 78.623506°
W 28.894043°		 →
↑
60.27 m
↓
↑
60.27 m
↓
N 78.622964°
W 28.896789°		 ← 60.25 m →
3 631 m²		 N 78.622964°
W 28.894043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419734954833984 y=0.132907867431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419734954833984 × 217)
    floor (0.419734954833984 × 131072)
    floor (55015.5)     		tx = 55015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132907867431641 × 217)
    floor (0.132907867431641 × 131072)
    floor (17420.5)     		ty = 17420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55015 / 17420 ti = "17/55015/17420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55015/17420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55015 ÷ 217
    55015 ÷ 131072     		x = 0.419731140136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17420 ÷ 217
    17420 ÷ 131072     		y = 0.132904052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419731140136719 × 2 - 1) × π
    -0.160537719726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.50434412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132904052734375 × 2 - 1) × π
    0.73419189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.30653186211862
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50434412} λ = -0.50434412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30653186211862))-π/2
    2×atan(10.0395456787442)-π/2
    2×1.47151768859029-π/2
    2.94303537718058-1.57079632675     		φ = 1.37223905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50434412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.896789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37223905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.623506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55015 KachelY 17420 -0.50434412 1.37223905 -28.896789 78.623506
    Oben rechts KachelX + 1 55016 KachelY 17420 -0.50429618 1.37223905 -28.894043 78.623506
    Unten links KachelX 55015 KachelY + 1 17421 -0.50434412 1.37222959 -28.896789 78.622964
    Unten rechts KachelX + 1 55016 KachelY + 1 17421 -0.50429618 1.37222959 -28.894043 78.622964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37223905-1.37222959) × R
    9.45999999979463e-06 × 6371000     		dl = 60.2696599986916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37223905-1.37222959) × R
    9.45999999979463e-06 × 6371000     		dr = 60.2696599986916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50434412--0.50429618) × cos(1.37223905) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.197255159731052 × 6371000     		do = 60.2468031296352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50434412--0.50429618) × cos(1.37222959) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.197264433853873 × 6371000     		du = 60.2496356854606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37223905)-sin(1.37222959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197255159731052-0.197264433853873)×R²
    abs(-0.50429618--0.50434412)×9.27412282086815e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.27412282086815e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.27412282086815e-06×40589641000000     		ar = 3631.13969919501m²