Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55014 / 17415
↖ ↑ ↗
← N 78.626214°
W 28.899536°		 ← 60.23 m → N 78.626214°
W 28.896789°		 →
↑
60.21 m
↓
↑
60.21 m
↓
N 78.625673°
W 28.899536°		 ← 60.24 m →
3 626 m²		 N 78.625673°
W 28.896789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419727325439453 y=0.132869720458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419727325439453 × 217)
    floor (0.419727325439453 × 131072)
    floor (55014.5)     		tx = 55014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132869720458984 × 217)
    floor (0.132869720458984 × 131072)
    floor (17415.5)     		ty = 17415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55014 / 17415 ti = "17/55014/17415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55014/17415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55014 ÷ 217
    55014 ÷ 131072     		x = 0.419723510742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17415 ÷ 217
    17415 ÷ 131072     		y = 0.132865905761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419723510742188 × 2 - 1) × π
    -0.160552978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50439206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132865905761719 × 2 - 1) × π
    0.734268188476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.30677154661672
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50439206} λ = -0.50439206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30677154661672))-π/2
    2×atan(10.0419522906136)-π/2
    2×1.47154132531509-π/2
    2.94308265063017-1.57079632675     		φ = 1.37228632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50439206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.899536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37228632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.626214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55014 KachelY 17415 -0.50439206 1.37228632 -28.899536 78.626214
    Oben rechts KachelX + 1 55015 KachelY 17415 -0.50434412 1.37228632 -28.896789 78.626214
    Unten links KachelX 55014 KachelY + 1 17416 -0.50439206 1.37227687 -28.899536 78.625673
    Unten rechts KachelX + 1 55015 KachelY + 1 17416 -0.50434412 1.37227687 -28.896789 78.625673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37228632-1.37227687) × R
    9.44999999985541e-06 × 6371000     		dl = 60.2059499990788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37228632-1.37227687) × R
    9.44999999985541e-06 × 6371000     		dr = 60.2059499990788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50439206--0.50434412) × cos(1.37228632) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.197208818263018 × 6371000     		do = 60.2326492526078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50439206--0.50434412) × cos(1.37227687) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.197218082670442 × 6371000     		du = 60.2354788411008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37228632)-sin(1.37227687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197208818263018-0.197218082670442)×R²
    abs(-0.50434412--0.50439206)×9.26440742365919e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.26440742365919e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.26440742365919e-06×40589641000000     		ar = 3626.4490482044m²