Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55010 / 18722
↖ ↑ ↗
← N 77.896103°
W 28.910523°		 ← 64.04 m → N 77.896103°
W 28.907776°		 →
↑
64.03 m
↓
↑
64.03 m
↓
N 77.895528°
W 28.910523°		 ← 64.05 m →
4 101 m²		 N 77.895528°
W 28.907776°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419696807861328 y=0.142841339111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419696807861328 × 217)
    floor (0.419696807861328 × 131072)
    floor (55010.5)     		tx = 55010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142841339111328 × 217)
    floor (0.142841339111328 × 131072)
    floor (18722.5)     		ty = 18722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55010 / 18722 ti = "17/55010/18722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55010/18722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55010 ÷ 217
    55010 ÷ 131072     		x = 0.419692993164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18722 ÷ 217
    18722 ÷ 131072     		y = 0.142837524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419692993164062 × 2 - 1) × π
    -0.160614013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50458381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142837524414062 × 2 - 1) × π
    0.714324951171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24411801881331
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50458381} λ = -0.50458381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24411801881331))-π/2
    2×atan(9.43209295827203)-π/2
    2×1.46516990275342-π/2
    2.93033980550684-1.57079632675     		φ = 1.35954348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50458381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.910523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35954348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.896103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55010 KachelY 18722 -0.50458381 1.35954348 -28.910523 77.896103
    Oben rechts KachelX + 1 55011 KachelY 18722 -0.50453587 1.35954348 -28.907776 77.896103
    Unten links KachelX 55010 KachelY + 1 18723 -0.50458381 1.35953343 -28.910523 77.895528
    Unten rechts KachelX + 1 55011 KachelY + 1 18723 -0.50453587 1.35953343 -28.907776 77.895528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35954348-1.35953343) × R
    1.00499999999837e-05 × 6371000     		dl = 64.028549999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35954348-1.35953343) × R
    1.00499999999837e-05 × 6371000     		dr = 64.028549999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50458381--0.50453587) × cos(1.35954348) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209685058820449 × 6371000     		do = 64.0432142571371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50458381--0.50453587) × cos(1.35953343) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209694885388097 × 6371000     		du = 64.0462155438328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35954348)-sin(1.35953343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209685058820449-0.209694885388097)×R²
    abs(-0.50453587--0.50458381)×9.82656764844658e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.82656764844658e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.82656764844658e-06×40589641000000     		ar = 4100.69023031363m²