Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55009 / 12701
↖ ↑ ↗
← N 80.915859°
W 28.913269°		 ← 48.21 m → N 80.915859°
W 28.910523°		 →
↑
48.23 m
↓
↑
48.23 m
↓
N 80.915425°
W 28.913269°		 ← 48.21 m →
2 325 m²		 N 80.915425°
W 28.910523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419689178466797 y=0.0969047546386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419689178466797 × 217)
    floor (0.419689178466797 × 131072)
    floor (55009.5)     		tx = 55009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0969047546386719 × 217)
    floor (0.0969047546386719 × 131072)
    floor (12701.5)     		ty = 12701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55009 / 12701 ti = "17/55009/12701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55009/12701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55009 ÷ 217
    55009 ÷ 131072     		x = 0.419685363769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12701 ÷ 217
    12701 ÷ 131072     		y = 0.0969009399414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419685363769531 × 2 - 1) × π
    -0.160629272460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.50463174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0969009399414062 × 2 - 1) × π
    0.806198120117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.53274609142567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50463174} λ = -0.50463174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53274609142567))-π/2
    2×atan(12.5880265886976)-π/2
    2×1.49152223874526-π/2
    2.98304447749052-1.57079632675     		φ = 1.41224815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50463174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.913269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41224815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.915859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55009 KachelY 12701 -0.50463174 1.41224815 -28.913269 80.915859
    Oben rechts KachelX + 1 55010 KachelY 12701 -0.50458381 1.41224815 -28.910523 80.915859
    Unten links KachelX 55009 KachelY + 1 12702 -0.50463174 1.41224058 -28.913269 80.915425
    Unten rechts KachelX + 1 55010 KachelY + 1 12702 -0.50458381 1.41224058 -28.910523 80.915425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41224815-1.41224058) × R
    7.56999999995678e-06 × 6371000     		dl = 48.2284699997246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41224815-1.41224058) × R
    7.56999999995678e-06 × 6371000     		dr = 48.2284699997246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50463174--0.50458381) × cos(1.41224815) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157884759734358 × 6371000     		do = 48.2120107385753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50463174--0.50458381) × cos(1.41224058) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157892234783447 × 6371000     		du = 48.2142933347396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41224815)-sin(1.41224058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157884759734358-0.157892234783447)×R²
    abs(-0.50458381--0.50463174)×7.47504908971131e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.47504908971131e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.47504908971131e-06×40589641000000     		ar = 2325.24655678719m²