Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55008 / 17627
↖ ↑ ↗
← N 78.510811°
W 28.916016°		 ← 60.84 m → N 78.510811°
W 28.913269°		 →
↑
60.84 m
↓
↑
60.84 m
↓
N 78.510264°
W 28.916016°		 ← 60.84 m →
3 702 m²		 N 78.510264°
W 28.913269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419681549072266 y=0.134487152099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419681549072266 × 217)
    floor (0.419681549072266 × 131072)
    floor (55008.5)     		tx = 55008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134487152099609 × 217)
    floor (0.134487152099609 × 131072)
    floor (17627.5)     		ty = 17627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55008 / 17627 ti = "17/55008/17627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55008/17627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55008 ÷ 217
    55008 ÷ 131072     		x = 0.419677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17627 ÷ 217
    17627 ÷ 131072     		y = 0.134483337402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419677734375 × 2 - 1) × π
    -0.16064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50467968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134483337402344 × 2 - 1) × π
    0.731033325195312 × 3.1415926535     		Φ = 2.29660892389727
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50467968} λ = -0.50467968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29660892389727))-π/2
    2×atan(9.940416526821)-π/2
    2×1.47053423810489-π/2
    2.94106847620979-1.57079632675     		φ = 1.37027215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50467968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.916016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37027215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.510811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55008 KachelY 17627 -0.50467968 1.37027215 -28.916016 78.510811
    Oben rechts KachelX + 1 55009 KachelY 17627 -0.50463174 1.37027215 -28.913269 78.510811
    Unten links KachelX 55008 KachelY + 1 17628 -0.50467968 1.37026260 -28.916016 78.510264
    Unten rechts KachelX + 1 55009 KachelY + 1 17628 -0.50463174 1.37026260 -28.913269 78.510264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37027215-1.37026260) × R
    9.54999999991379e-06 × 6371000     		dl = 60.8430499994508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37027215-1.37026260) × R
    9.54999999991379e-06 × 6371000     		dr = 60.8430499994508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50467968--0.50463174) × cos(1.37027215) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.199183031635772 × 6371000     		do = 60.8356248327591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50467968--0.50463174) × cos(1.37026260) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.199192390266704 × 6371000     		du = 60.8384831995371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37027215)-sin(1.37026260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199183031635772-0.199192390266704)×R²
    abs(-0.50463174--0.50467968)×9.35863093287637e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.35863093287637e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.35863093287637e-06×40589641000000     		ar = 3701.51191922748m²