Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55008 / 16864
↖ ↑ ↗
← N 78.920832°
W 28.916016°		 ← 58.69 m → N 78.920832°
W 28.913269°		 →
↑
58.68 m
↓
↑
58.68 m
↓
N 78.920304°
W 28.916016°		 ← 58.69 m →
3 444 m²		 N 78.920304°
W 28.913269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419681549072266 y=0.128665924072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419681549072266 × 217)
    floor (0.419681549072266 × 131072)
    floor (55008.5)     		tx = 55008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128665924072266 × 217)
    floor (0.128665924072266 × 131072)
    floor (16864.5)     		ty = 16864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55008 / 16864 ti = "17/55008/16864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55008/16864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55008 ÷ 217
    55008 ÷ 131072     		x = 0.419677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16864 ÷ 217
    16864 ÷ 131072     		y = 0.128662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419677734375 × 2 - 1) × π
    -0.16064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50467968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128662109375 × 2 - 1) × π
    0.74267578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.33318477830737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50467968} λ = -0.50467968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33318477830737))-π/2
    2×atan(10.3107266772793)-π/2
    2×1.47411234352265-π/2
    2.94822468704529-1.57079632675     		φ = 1.37742836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50467968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.916016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37742836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.920832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55008 KachelY 16864 -0.50467968 1.37742836 -28.916016 78.920832
    Oben rechts KachelX + 1 55009 KachelY 16864 -0.50463174 1.37742836 -28.913269 78.920832
    Unten links KachelX 55008 KachelY + 1 16865 -0.50467968 1.37741915 -28.916016 78.920304
    Unten rechts KachelX + 1 55009 KachelY + 1 16865 -0.50463174 1.37741915 -28.913269 78.920304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37742836-1.37741915) × R
    9.20999999998173e-06 × 6371000     		dl = 58.6769099998836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37742836-1.37741915) × R
    9.20999999998173e-06 × 6371000     		dr = 58.6769099998836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50467968--0.50463174) × cos(1.37742836) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.192165175249029 × 6371000     		do = 58.692190852626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50467968--0.50463174) × cos(1.37741915) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.192174213590391 × 6371000     		du = 58.6949513947248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37742836)-sin(1.37741915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192165175249029-0.192174213590391)×R²
    abs(-0.50463174--0.50467968)×9.03834136167792e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.03834136167792e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.03834136167792e-06×40589641000000     		ar = 3443.95739035822m²