Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55007 / 12703
↖ ↑ ↗
← N 80.914991°
W 28.918762°		 ← 48.23 m → N 80.914991°
W 28.916016°		 →
↑
48.23 m
↓
↑
48.23 m
↓
N 80.914557°
W 28.918762°		 ← 48.23 m →
2 326 m²		 N 80.914557°
W 28.916016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419673919677734 y=0.0969200134277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419673919677734 × 217)
    floor (0.419673919677734 × 131072)
    floor (55007.5)     		tx = 55007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0969200134277344 × 217)
    floor (0.0969200134277344 × 131072)
    floor (12703.5)     		ty = 12703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55007 / 12703 ti = "17/55007/12703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55007/12703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55007 ÷ 217
    55007 ÷ 131072     		x = 0.419670104980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12703 ÷ 217
    12703 ÷ 131072     		y = 0.0969161987304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419670104980469 × 2 - 1) × π
    -0.160659790039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.50472762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0969161987304688 × 2 - 1) × π
    0.806167602539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.53265021762643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50472762} λ = -0.50472762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53265021762643))-π/2
    2×atan(12.586819784615)-π/2
    2×1.49151466988114-π/2
    2.98302933976228-1.57079632675     		φ = 1.41223301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50472762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.918762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41223301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.914991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55007 KachelY 12703 -0.50472762 1.41223301 -28.918762 80.914991
    Oben rechts KachelX + 1 55008 KachelY 12703 -0.50467968 1.41223301 -28.916016 80.914991
    Unten links KachelX 55007 KachelY + 1 12704 -0.50472762 1.41222544 -28.918762 80.914557
    Unten rechts KachelX + 1 55008 KachelY + 1 12704 -0.50467968 1.41222544 -28.916016 80.914557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41223301-1.41222544) × R
    7.56999999995678e-06 × 6371000     		dl = 48.2284699997246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41223301-1.41222544) × R
    7.56999999995678e-06 × 6371000     		dr = 48.2284699997246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50472762--0.50467968) × cos(1.41223301) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.157899709823489 × 6371000     		do = 48.2266357187045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50472762--0.50467968) × cos(1.41222544) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.157907184854482 × 6371000     		du = 48.2289187855772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41223301)-sin(1.41222544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157899709823489-0.157907184854482)×R²
    abs(-0.50467968--0.50472762)×7.47503099327029e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.47503099327029e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.47503099327029e-06×40589641000000     		ar = 2325.95190839984m²