Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 550 / 745
↖ ↑ ↗
← S 63.074866°
E 13.359375°		 ← 17.702 km → S 63.074866°
E 13.710937°		 →
↑
17.654 km
↓
↑
17.654 km
↓
S 63.233628°
E 13.359375°		 ← 17.605 km →
311.647 km²		 S 63.233628°
E 13.710937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53759765625 y=0.72802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53759765625 × 210)
    floor (0.53759765625 × 1024)
    floor (550.5)     		tx = 550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72802734375 × 210)
    floor (0.72802734375 × 1024)
    floor (745.5)     		ty = 745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 550 / 745 ti = "10/550/745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/550/745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 550 ÷ 210
    550 ÷ 1024     		x = 0.537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 745 ÷ 210
    745 ÷ 1024     		y = 0.7275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537109375 × 2 - 1) × π
    0.07421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23316508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7275390625 × 2 - 1) × π
    -0.455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42967009426855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23316508} λ = 0.23316508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42967009426855))-π/2
    2×atan(0.239387884653148)-π/2
    2×0.234966122629728-π/2
    0.469932245259457-1.57079632675     		φ = -1.10086408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23316508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.359375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10086408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.074866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 550 KachelY 745 0.23316508 -1.10086408 13.359375 -63.074866
    Oben rechts KachelX + 1 551 KachelY 745 0.23930100 -1.10086408 13.710937 -63.074866
    Unten links KachelX 550 KachelY + 1 746 0.23316508 -1.10363500 13.359375 -63.233628
    Unten rechts KachelX + 1 551 KachelY + 1 746 0.23930100 -1.10363500 13.710937 -63.233628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10086408--1.10363500) × R
    0.0027709199999999 × 6371000     		dl = 17653.5313199994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10086408--1.10363500) × R
    0.0027709199999999 × 6371000     		dr = 17653.5313199994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23316508-0.23930100) × cos(-1.10086408) × R
    0.00613592000000002 × 0.452825877730534 × 6371000     		do = 17701.844904549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23316508-0.23930100) × cos(-1.10363500) × R
    0.00613592000000002 × 0.450353593075369 × 6371000     		du = 17605.1984855215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10086408)-sin(-1.10363500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452825877730534-0.450353593075369)×R²
    abs(0.23930100-0.23316508)×0.00247228465516508×R²
    0.00613592000000002×0.00247228465516508×6371000²
    0.00613592000000002×0.00247228465516508×40589641000000     		ar = 311647197.553829m²