Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 550 / 348
↖ ↑ ↗
← N 75.672198°
W 83.320313°		 ← 4 837.03 m → N 75.672198°
W 83.144532°		 →
↑
4 844.25 m
↓
↑
4 844.25 m
↓
N 75.628632°
W 83.320313°		 ← 4 851.42 m →
23 466 657 m²		 N 75.628632°
W 83.144532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268798828125 y=0.170166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268798828125 × 211)
    floor (0.268798828125 × 2048)
    floor (550.5)     		tx = 550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.170166015625 × 211)
    floor (0.170166015625 × 2048)
    floor (348.5)     		ty = 348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 550 / 348 ti = "11/550/348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/550/348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 550 ÷ 211
    550 ÷ 2048     		x = 0.2685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 348 ÷ 211
    348 ÷ 2048     		y = 0.169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2685546875 × 2 - 1) × π
    -0.462890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.45421379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.169921875 × 2 - 1) × π
    0.66015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.07394202516211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45421379} λ = -1.45421379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07394202516211))-π/2
    2×atan(7.95612462511564)-π/2
    2×1.44576266173222-π/2
    2.89152532346444-1.57079632675     		φ = 1.32072900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45421379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.320313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32072900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.672198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 550 KachelY 348 -1.45421379 1.32072900 -83.320313 75.672198
    Oben rechts KachelX + 1 551 KachelY 348 -1.45114583 1.32072900 -83.144532 75.672198
    Unten links KachelX 550 KachelY + 1 349 -1.45421379 1.31996864 -83.320313 75.628632
    Unten rechts KachelX + 1 551 KachelY + 1 349 -1.45114583 1.31996864 -83.144532 75.628632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32072900-1.31996864) × R
    0.000760360000000126 × 6371000     		dl = 4844.25356000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32072900-1.31996864) × R
    0.000760360000000126 × 6371000     		dr = 4844.25356000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45421379--1.45114583) × cos(1.32072900) × R
    0.00306796000000009 × 0.247469192461635 × 6371000     		do = 4837.02619378213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45421379--1.45114583) × cos(1.31996864) × R
    0.00306796000000009 × 0.248205830435874 × 6371000     		du = 4851.42449985524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32072900)-sin(1.31996864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.247469192461635-0.248205830435874)×R²
    abs(-1.45114583--1.45421379)×0.000736637974239202×R²
    0.00306796000000009×0.000736637974239202×6371000²
    0.00306796000000009×0.000736637974239202×40589641000000     		ar = 23466657.0123731m²