Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 550 / 1613
↖ ↑ ↗
← S 71.357067°
W 83.320313°		 ← 6 248.25 m → S 71.357067°
W 83.144532°		 →
↑
6 239.18 m
↓
↑
6 239.18 m
↓
S 71.413177°
W 83.320313°		 ← 6 230.11 m →
38 927 392 m²		 S 71.413177°
W 83.144532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268798828125 y=0.787841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268798828125 × 211)
    floor (0.268798828125 × 2048)
    floor (550.5)     		tx = 550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787841796875 × 211)
    floor (0.787841796875 × 2048)
    floor (1613.5)     		ty = 1613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 550 / 1613 ti = "11/550/1613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/550/1613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 550 ÷ 211
    550 ÷ 2048     		x = 0.2685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1613 ÷ 211
    1613 ÷ 2048     		y = 0.78759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2685546875 × 2 - 1) × π
    -0.462890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.45421379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78759765625 × 2 - 1) × π
    -0.5751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.80702936807764
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45421379} λ = -1.45421379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80702936807764))-π/2
    2×atan(0.164141015816843)-π/2
    2×0.162690285477853-π/2
    0.325380570955705-1.57079632675     		φ = -1.24541576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45421379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.320313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24541576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.357067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 550 KachelY 1613 -1.45421379 -1.24541576 -83.320313 -71.357067
    Oben rechts KachelX + 1 551 KachelY 1613 -1.45114583 -1.24541576 -83.144532 -71.357067
    Unten links KachelX 550 KachelY + 1 1614 -1.45421379 -1.24639507 -83.320313 -71.413177
    Unten rechts KachelX + 1 551 KachelY + 1 1614 -1.45114583 -1.24639507 -83.144532 -71.413177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24541576--1.24639507) × R
    0.000979309999999955 × 6371000     		dl = 6239.18400999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24541576--1.24639507) × R
    0.000979309999999955 × 6371000     		dr = 6239.18400999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45421379--1.45114583) × cos(-1.24541576) × R
    0.00306796000000009 × 0.31966940712501 × 6371000     		do = 6248.24965173874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45421379--1.45114583) × cos(-1.24639507) × R
    0.00306796000000009 × 0.318741329222602 × 6371000     		du = 6230.10946596788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24541576)-sin(-1.24639507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31966940712501-0.318741329222602)×R²
    abs(-1.45114583--1.45421379)×0.000928077902408175×R²
    0.00306796000000009×0.000928077902408175×6371000²
    0.00306796000000009×0.000928077902408175×40589641000000     		ar = 38927392.4502215m²