Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 55 / 141
↖ ↑ ↗
← N 62.593341°
W141.328125°		 ← 35.988 km → N 62.593341°
W140.625000°		 →
↑
36.185 km
↓
↑
36.185 km
↓
N 62.267923°
W141.328125°		 ← 36.382 km →
1 309.36 km²		 N 62.267923°
W140.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1083984375 y=0.2763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1083984375 × 29)
    floor (0.1083984375 × 512)
    floor (55.5)     		tx = 55
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2763671875 × 29)
    floor (0.2763671875 × 512)
    floor (141.5)     		ty = 141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 55 / 141 ti = "9/55/141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/55/141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55 ÷ 29
    55 ÷ 512     		x = 0.107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 141 ÷ 29
    141 ÷ 512     		y = 0.275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.107421875 × 2 - 1) × π
    -0.78515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.46664111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.275390625 × 2 - 1) × π
    0.44921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.41126232481445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46664111} λ = -2.46664111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41126232481445))-π/2
    2×atan(4.10112909496882)-π/2
    2×1.33162810704246-π/2
    2.66325621408493-1.57079632675     		φ = 1.09245989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46664111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09245989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.593341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55 KachelY 141 -2.46664111 1.09245989 -141.328125 62.593341
    Oben rechts KachelX + 1 56 KachelY 141 -2.45436926 1.09245989 -140.625000 62.593341
    Unten links KachelX 55 KachelY + 1 142 -2.46664111 1.08678027 -141.328125 62.267923
    Unten rechts KachelX + 1 56 KachelY + 1 142 -2.45436926 1.08678027 -140.625000 62.267923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09245989-1.08678027) × R
    0.00567962 × 6371000     		dl = 36184.85902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09245989-1.08678027) × R
    0.00567962 × 6371000     		dr = 36184.85902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46664111--2.45436926) × cos(1.09245989) × R
    0.0122718499999999 × 0.460302965131908 × 6371000     		do = 35988.3069336483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46664111--2.45436926) × cos(1.08678027) × R
    0.0122718499999999 × 0.46533766400578 × 6371000     		du = 36381.9396106385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09245989)-sin(1.08678027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460302965131908-0.46533766400578)×R²
    abs(-2.45436926--2.46664111)×0.00503469887387248×R²
    0.0122718499999999×0.00503469887387248×6371000²
    0.0122718499999999×0.00503469887387248×40589641000000     		ar = 1309357104.0049m²