Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54991 / 16525
↖ ↑ ↗
← N 79.098336°
W 28.962708°		 ← 57.76 m → N 79.098336°
W 28.959961°		 →
↑
57.78 m
↓
↑
57.78 m
↓
N 79.097816°
W 28.962708°		 ← 57.77 m →
3 338 m²		 N 79.097816°
W 28.959961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419551849365234 y=0.126079559326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419551849365234 × 217)
    floor (0.419551849365234 × 131072)
    floor (54991.5)     		tx = 54991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126079559326172 × 217)
    floor (0.126079559326172 × 131072)
    floor (16525.5)     		ty = 16525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54991 / 16525 ti = "17/54991/16525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54991/16525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54991 ÷ 217
    54991 ÷ 131072     		x = 0.419548034667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16525 ÷ 217
    16525 ÷ 131072     		y = 0.126075744628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419548034667969 × 2 - 1) × π
    -0.160903930664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.50549461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126075744628906 × 2 - 1) × π
    0.747848510742188 × 3.1415926535     		Φ = 2.34943538727857
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50549461} λ = -0.50549461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34943538727857))-π/2
    2×atan(10.4796511096895)-π/2
    2×1.47566135711064-π/2
    2.95132271422128-1.57079632675     		φ = 1.38052639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50549461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.962708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38052639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.098336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54991 KachelY 16525 -0.50549461 1.38052639 -28.962708 79.098336
    Oben rechts KachelX + 1 54992 KachelY 16525 -0.50544667 1.38052639 -28.959961 79.098336
    Unten links KachelX 54991 KachelY + 1 16526 -0.50549461 1.38051732 -28.962708 79.097816
    Unten rechts KachelX + 1 54992 KachelY + 1 16526 -0.50544667 1.38051732 -28.959961 79.097816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38052639-1.38051732) × R
    9.0699999999444e-06 × 6371000     		dl = 57.7849699996458m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38052639-1.38051732) × R
    9.0699999999444e-06 × 6371000     		dr = 57.7849699996458m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50549461--0.50544667) × cos(1.38052639) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.1891239671684 × 6371000     		do = 57.7633276241063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50549461--0.50544667) × cos(1.38051732) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18913287347632 × 6371000     		du = 57.7660478397936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38052639)-sin(1.38051732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1891239671684-0.18913287347632)×R²
    abs(-0.50544667--0.50549461)×8.90630792041436e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.90630792041436e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.90630792041436e-06×40589641000000     		ar = 3337.93074768m²