Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54990 / 14319
↖ ↑ ↗
← N 80.186675°
W 28.965454°		 ← 52.05 m → N 80.186675°
W 28.962708°		 →
↑
52.05 m
↓
↑
52.05 m
↓
N 80.186207°
W 28.965454°		 ← 52.05 m →
2 709 m²		 N 80.186207°
W 28.962708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419544219970703 y=0.109249114990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419544219970703 × 217)
    floor (0.419544219970703 × 131072)
    floor (54990.5)     		tx = 54990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109249114990234 × 217)
    floor (0.109249114990234 × 131072)
    floor (14319.5)     		ty = 14319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54990 / 14319 ti = "17/54990/14319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54990/14319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54990 ÷ 217
    54990 ÷ 131072     		x = 0.419540405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14319 ÷ 217
    14319 ÷ 131072     		y = 0.109245300292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419540405273438 × 2 - 1) × π
    -0.160919189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50554254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109245300292969 × 2 - 1) × π
    0.781509399414062 × 3.1415926535     		Φ = 2.45518418784042
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50554254} λ = -0.50554254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45518418784042))-π/2
    2×atan(11.6485788778891)-π/2
    2×1.48515890910508-π/2
    2.97031781821016-1.57079632675     		φ = 1.39952149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50554254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.965454°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39952149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.186675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54990 KachelY 14319 -0.50554254 1.39952149 -28.965454 80.186675
    Oben rechts KachelX + 1 54991 KachelY 14319 -0.50549461 1.39952149 -28.962708 80.186675
    Unten links KachelX 54990 KachelY + 1 14320 -0.50554254 1.39951332 -28.965454 80.186207
    Unten rechts KachelX + 1 54991 KachelY + 1 14320 -0.50549461 1.39951332 -28.962708 80.186207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39952149-1.39951332) × R
    8.16999999986301e-06 × 6371000     		dl = 52.0510699991272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39952149-1.39951332) × R
    8.16999999986301e-06 × 6371000     		dr = 52.0510699991272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50554254--0.50549461) × cos(1.39952149) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.1704386709737 × 6371000     		do = 52.0454985590629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50554254--0.50549461) × cos(1.39951332) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17044672142691 × 6371000     		du = 52.0479568617975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39952149)-sin(1.39951332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1704386709737-0.17044672142691)×R²
    abs(-0.50549461--0.50554254)×8.05045320970144e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.05045320970144e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.05045320970144e-06×40589641000000     		ar = 2709.08786733m²