Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54988 / 14316
N 80.188079°
W 28.970947°
← 52.05 m → N 80.188079°
W 28.968201°

52.05 m

52.05 m
N 80.187611°
W 28.970947°
← 52.05 m →
2 709 m²
N 80.187611°
W 28.968201°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419528961181641 y=0.109226226806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419528961181641 × 217)
    floor (0.419528961181641 × 131072)
    floor (54988.5)
    tx = 54988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109226226806641 × 217)
    floor (0.109226226806641 × 131072)
    floor (14316.5)
    ty = 14316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54988 / 14316 ti = "17/54988/14316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54988/14316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54988 ÷ 217
    54988 ÷ 131072
    x = 0.419525146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14316 ÷ 217
    14316 ÷ 131072
    y = 0.109222412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.419525146484375 × 2 - 1) × π
    -0.16094970703125 × 3.1415926535
    Λ = -0.50563842
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.109222412109375 × 2 - 1) × π
    0.78155517578125 × 3.1415926535
    Φ = 2.45532799853928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50563842} λ = -0.50563842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45532799853928))-π/2
    2×atan(11.6502541886192)-π/2
    2×1.48517116368887-π/2
    2.97034232737775-1.57079632675
    φ = 1.39954600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50563842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.970947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39954600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.188079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54988 KachelY 14316 -0.50563842 1.39954600 -28.970947 80.188079
    Oben rechts KachelX + 1 54989 KachelY 14316 -0.50559048 1.39954600 -28.968201 80.188079
    Unten links KachelX 54988 KachelY + 1 14317 -0.50563842 1.39953783 -28.970947 80.187611
    Unten rechts KachelX + 1 54989 KachelY + 1 14317 -0.50559048 1.39953783 -28.968201 80.187611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.39954600-1.39953783) × R
    8.16999999986301e-06 × 6371000
    dl = 52.0510699991272m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.39954600-1.39953783) × R
    8.16999999986301e-06 × 6371000
    dr = 52.0510699991272m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50563842--0.50559048) × cos(1.39954600) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.170414519545813 × 6371000
    do = 52.0489807391108m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50563842--0.50559048) × cos(1.39953783) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.170422570033151 × 6371000
    du = 52.0514395651633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.39954600)-sin(1.39953783))×
    abs(λ12)×abs(0.170414519545813-0.170422570033151)×
    abs(-0.50559048--0.50563842)×8.05048733784619e-06×
    4.79400000000796e-05×8.05048733784619e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.05048733784619e-06×40589641000000
    ar = 2709.26913231413m²