Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54987 / 17385
↖ ↑ ↗
← N 78.642453°
W 28.973694°		 ← 60.14 m → N 78.642453°
W 28.970947°		 →
↑
60.14 m
↓
↑
60.14 m
↓
N 78.641912°
W 28.973694°		 ← 60.14 m →
3 617 m²		 N 78.641912°
W 28.970947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419521331787109 y=0.132640838623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419521331787109 × 217)
    floor (0.419521331787109 × 131072)
    floor (54987.5)     		tx = 54987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132640838623047 × 217)
    floor (0.132640838623047 × 131072)
    floor (17385.5)     		ty = 17385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54987 / 17385 ti = "17/54987/17385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54987/17385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54987 ÷ 217
    54987 ÷ 131072     		x = 0.419517517089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17385 ÷ 217
    17385 ÷ 131072     		y = 0.132637023925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419517517089844 × 2 - 1) × π
    -0.160964965820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.50568635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132637023925781 × 2 - 1) × π
    0.734725952148438 × 3.1415926535     		Φ = 2.30820965360532
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50568635} λ = -0.50568635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30820965360532))-π/2
    2×atan(10.056404081502)-π/2
    2×1.47168302908532-π/2
    2.94336605817063-1.57079632675     		φ = 1.37256973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50568635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.973694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37256973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.642453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54987 KachelY 17385 -0.50568635 1.37256973 -28.973694 78.642453
    Oben rechts KachelX + 1 54988 KachelY 17385 -0.50563842 1.37256973 -28.970947 78.642453
    Unten links KachelX 54987 KachelY + 1 17386 -0.50568635 1.37256029 -28.973694 78.641912
    Unten rechts KachelX + 1 54988 KachelY + 1 17386 -0.50563842 1.37256029 -28.970947 78.641912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37256973-1.37256029) × R
    9.43999999991618e-06 × 6371000     		dl = 60.142239999466m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37256973-1.37256029) × R
    9.43999999991618e-06 × 6371000     		dr = 60.142239999466m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50568635--0.50563842) × cos(1.37256973) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.19693096609236 × 6371000     		do = 60.1352395757216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50568635--0.50563842) × cos(1.37256029) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.196940221223438 × 6371000     		du = 60.1380657413356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37256973)-sin(1.37256029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19693096609236-0.196940221223438)×R²
    abs(-0.50563842--0.50568635)×9.25513107855047e-06×R²
    4.79299999999183e-05×9.25513107855047e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×9.25513107855047e-06×40589641000000     		ar = 3616.7529969611m²