Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54986 / 17384
↖ ↑ ↗
← N 78.642993°
W 28.976440°		 ← 60.14 m → N 78.642993°
W 28.973694°		 →
↑
60.14 m
↓
↑
60.14 m
↓
N 78.642453°
W 28.976440°		 ← 60.15 m →
3 617 m²		 N 78.642453°
W 28.973694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419513702392578 y=0.132633209228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419513702392578 × 217)
    floor (0.419513702392578 × 131072)
    floor (54986.5)     		tx = 54986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132633209228516 × 217)
    floor (0.132633209228516 × 131072)
    floor (17384.5)     		ty = 17384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54986 / 17384 ti = "17/54986/17384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54986/17384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54986 ÷ 217
    54986 ÷ 131072     		x = 0.419509887695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17384 ÷ 217
    17384 ÷ 131072     		y = 0.13262939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419509887695312 × 2 - 1) × π
    -0.160980224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50573429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13262939453125 × 2 - 1) × π
    0.7347412109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30825759050494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50573429} λ = -0.50573429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30825759050494))-π/2
    2×atan(10.0568861658897)-π/2
    2×1.47168774910434-π/2
    2.94337549820869-1.57079632675     		φ = 1.37257917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50573429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.976440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37257917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.642993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54986 KachelY 17384 -0.50573429 1.37257917 -28.976440 78.642993
    Oben rechts KachelX + 1 54987 KachelY 17384 -0.50568635 1.37257917 -28.973694 78.642993
    Unten links KachelX 54986 KachelY + 1 17385 -0.50573429 1.37256973 -28.976440 78.642453
    Unten rechts KachelX + 1 54987 KachelY + 1 17385 -0.50568635 1.37256973 -28.973694 78.642453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37257917-1.37256973) × R
    9.44000000013823e-06 × 6371000     		dl = 60.1422400008806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37257917-1.37256973) × R
    9.44000000013823e-06 × 6371000     		dr = 60.1422400008806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50573429--0.50568635) × cos(1.37257917) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.196921710943732 × 6371000     		do = 60.1449592871552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50573429--0.50568635) × cos(1.37256973) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.19693096609236 × 6371000     		du = 60.1477860477737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37257917)-sin(1.37256973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196921710943732-0.19693096609236)×R²
    abs(-0.50568635--0.50573429)×9.2551486279846e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.2551486279846e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.2551486279846e-06×40589641000000     		ar = 3617.33758000006m²