Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54984 / 43240
↖ ↑ ↗
← N 52.093008°
W 28.981933°		 ← 187.61 m → N 52.093008°
W 28.979187°		 →
↑
187.63 m
↓
↑
187.63 m
↓
N 52.091320°
W 28.981933°		 ← 187.62 m →
35 201 m²		 N 52.091320°
W 28.979187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419498443603516 y=0.329898834228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419498443603516 × 217)
    floor (0.419498443603516 × 131072)
    floor (54984.5)     		tx = 54984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329898834228516 × 217)
    floor (0.329898834228516 × 131072)
    floor (43240.5)     		ty = 43240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54984 / 43240 ti = "17/54984/43240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54984/43240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54984 ÷ 217
    54984 ÷ 131072     		x = 0.41949462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43240 ÷ 217
    43240 ÷ 131072     		y = 0.32989501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41949462890625 × 2 - 1) × π
    -0.1610107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50583016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32989501953125 × 2 - 1) × π
    0.3402099609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06880111392877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50583016} λ = -0.50583016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06880111392877))-π/2
    2×atan(2.91188638644311)-π/2
    2×1.23999541367719-π/2
    2.47999082735438-1.57079632675     		φ = 0.90919450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50583016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.981933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90919450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.093008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54984 KachelY 43240 -0.50583016 0.90919450 -28.981933 52.093008
    Oben rechts KachelX + 1 54985 KachelY 43240 -0.50578223 0.90919450 -28.979187 52.093008
    Unten links KachelX 54984 KachelY + 1 43241 -0.50583016 0.90916505 -28.981933 52.091320
    Unten rechts KachelX + 1 54985 KachelY + 1 43241 -0.50578223 0.90916505 -28.979187 52.091320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90919450-0.90916505) × R
    2.94499999999864e-05 × 6371000     		dl = 187.625949999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90919450-0.90916505) × R
    2.94499999999864e-05 × 6371000     		dr = 187.625949999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50583016--0.50578223) × cos(0.90919450) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.614381495573968 × 6371000     		do = 187.608780683018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50583016--0.50578223) × cos(0.90916505) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.614404731625869 × 6371000     		du = 187.615876090995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90919450)-sin(0.90916505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614381495573968-0.614404731625869)×R²
    abs(-0.50578223--0.50583016)×2.3236051900466e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3236051900466e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3236051900466e-05×40589641000000     		ar = 35200.9413477343m²