Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54984 / 18698
↖ ↑ ↗
← N 77.909917°
W 28.981933°		 ← 63.96 m → N 77.909917°
W 28.979187°		 →
↑
63.96 m
↓
↑
63.96 m
↓
N 77.909342°
W 28.981933°		 ← 63.96 m →
4 091 m²		 N 77.909342°
W 28.979187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419498443603516 y=0.142658233642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419498443603516 × 217)
    floor (0.419498443603516 × 131072)
    floor (54984.5)     		tx = 54984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142658233642578 × 217)
    floor (0.142658233642578 × 131072)
    floor (18698.5)     		ty = 18698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54984 / 18698 ti = "17/54984/18698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54984/18698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54984 ÷ 217
    54984 ÷ 131072     		x = 0.41949462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18698 ÷ 217
    18698 ÷ 131072     		y = 0.142654418945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41949462890625 × 2 - 1) × π
    -0.1610107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50583016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142654418945312 × 2 - 1) × π
    0.714691162109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24526850440419
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50583016} λ = -0.50583016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24526850440419))-π/2
    2×atan(9.44295068994667)-π/2
    2×1.46529045475464-π/2
    2.93058090950928-1.57079632675     		φ = 1.35978458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50583016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.981933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35978458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.909917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54984 KachelY 18698 -0.50583016 1.35978458 -28.981933 77.909917
    Oben rechts KachelX + 1 54985 KachelY 18698 -0.50578223 1.35978458 -28.979187 77.909917
    Unten links KachelX 54984 KachelY + 1 18699 -0.50583016 1.35977454 -28.981933 77.909342
    Unten rechts KachelX + 1 54985 KachelY + 1 18699 -0.50578223 1.35977454 -28.979187 77.909342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35978458-1.35977454) × R
    1.00399999998224e-05 × 6371000     		dl = 63.9648399988686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35978458-1.35977454) × R
    1.00399999998224e-05 × 6371000     		dr = 63.9648399988686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50583016--0.50578223) × cos(1.35978458) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.209449312627505 × 6371000     		do = 63.9578672860789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50583016--0.50578223) × cos(1.35977454) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.209459129924784 × 6371000     		du = 63.9608651159051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35978458)-sin(1.35977454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209449312627505-0.209459129924784)×R²
    abs(-0.50578223--0.50583016)×9.81729727900227e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.81729727900227e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.81729727900227e-06×40589641000000     		ar = 4091.15062553928m²