Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54983 / 18700
↖ ↑ ↗
← N 77.908767°
W 28.984680°		 ← 63.98 m → N 77.908767°
W 28.981933°		 →
↑
63.96 m
↓
↑
63.96 m
↓
N 77.908192°
W 28.984680°		 ← 63.98 m →
4 092 m²		 N 77.908192°
W 28.981933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419490814208984 y=0.142673492431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419490814208984 × 217)
    floor (0.419490814208984 × 131072)
    floor (54983.5)     		tx = 54983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142673492431641 × 217)
    floor (0.142673492431641 × 131072)
    floor (18700.5)     		ty = 18700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54983 / 18700 ti = "17/54983/18700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54983/18700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54983 ÷ 217
    54983 ÷ 131072     		x = 0.419486999511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18700 ÷ 217
    18700 ÷ 131072     		y = 0.142669677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419486999511719 × 2 - 1) × π
    -0.161026000976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.50587810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142669677734375 × 2 - 1) × π
    0.71466064453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24517263060495
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50587810} λ = -0.50587810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24517263060495))-π/2
    2×atan(9.44204540178539)-π/2
    2×1.46528041393345-π/2
    2.9305608278669-1.57079632675     		φ = 1.35976450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50587810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.984680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35976450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.908767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54983 KachelY 18700 -0.50587810 1.35976450 -28.984680 77.908767
    Oben rechts KachelX + 1 54984 KachelY 18700 -0.50583016 1.35976450 -28.981933 77.908767
    Unten links KachelX 54983 KachelY + 1 18701 -0.50587810 1.35975446 -28.984680 77.908192
    Unten rechts KachelX + 1 54984 KachelY + 1 18701 -0.50583016 1.35975446 -28.981933 77.908192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35976450-1.35975446) × R
    1.00400000000445e-05 × 6371000     		dl = 63.9648400002832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35976450-1.35975446) × R
    1.00400000000445e-05 × 6371000     		dr = 63.9648400002832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50587810--0.50583016) × cos(1.35976450) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20946894720095 × 6371000     		do = 63.9772082058291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50587810--0.50583016) × cos(1.35975446) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209478764456 × 6371000     		du = 63.9802066482177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35976450)-sin(1.35975446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20946894720095-0.209478764456)×R²
    abs(-0.50583016--0.50587810)×9.81725505061481e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.81725505061481e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.81725505061481e-06×40589641000000     		ar = 4092.38778389343m²