Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54981 / 42819
↖ ↑ ↗
← N 52.797780°
W 28.990174°		 ← 184.67 m → N 52.797780°
W 28.987427°		 →
↑
184.63 m
↓
↑
184.63 m
↓
N 52.796119°
W 28.990174°		 ← 184.68 m →
34 096 m²		 N 52.796119°
W 28.987427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419475555419922 y=0.326686859130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419475555419922 × 217)
    floor (0.419475555419922 × 131072)
    floor (54981.5)     		tx = 54981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326686859130859 × 217)
    floor (0.326686859130859 × 131072)
    floor (42819.5)     		ty = 42819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54981 / 42819 ti = "17/54981/42819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54981/42819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54981 ÷ 217
    54981 ÷ 131072     		x = 0.419471740722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42819 ÷ 217
    42819 ÷ 131072     		y = 0.326683044433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419471740722656 × 2 - 1) × π
    -0.161056518554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.50597398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326683044433594 × 2 - 1) × π
    0.346633911132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.08898254866882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50597398} λ = -0.50597398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08898254866882))-π/2
    2×atan(2.97124943242163)-π/2
    2×1.24614571016999-π/2
    2.49229142033997-1.57079632675     		φ = 0.92149509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50597398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.990174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92149509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.797780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54981 KachelY 42819 -0.50597398 0.92149509 -28.990174 52.797780
    Oben rechts KachelX + 1 54982 KachelY 42819 -0.50592604 0.92149509 -28.987427 52.797780
    Unten links KachelX 54981 KachelY + 1 42820 -0.50597398 0.92146611 -28.990174 52.796119
    Unten rechts KachelX + 1 54982 KachelY + 1 42820 -0.50592604 0.92146611 -28.987427 52.796119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92149509-0.92146611) × R
    2.89799999999563e-05 × 6371000     		dl = 184.631579999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92149509-0.92146611) × R
    2.89799999999563e-05 × 6371000     		dr = 184.631579999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50597398--0.50592604) × cos(0.92149509) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.604629983967521 × 6371000     		do = 184.669560279775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50597398--0.50592604) × cos(0.92146611) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.60465306647159 × 6371000     		du = 184.676610270661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92149509)-sin(0.92146611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604629983967521-0.60465306647159)×R²
    abs(-0.50592604--0.50597398)×2.30825040691274e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.30825040691274e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.30825040691274e-05×40589641000000     		ar = 34096.4835202057m²