Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54980 / 42822
↖ ↑ ↗
← N 52.792798°
W 28.992920°		 ← 184.65 m → N 52.792798°
W 28.990174°		 →
↑
184.70 m
↓
↑
184.70 m
↓
N 52.791137°
W 28.992920°		 ← 184.66 m →
34 105 m²		 N 52.791137°
W 28.990174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419467926025391 y=0.326709747314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419467926025391 × 217)
    floor (0.419467926025391 × 131072)
    floor (54980.5)     		tx = 54980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326709747314453 × 217)
    floor (0.326709747314453 × 131072)
    floor (42822.5)     		ty = 42822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54980 / 42822 ti = "17/54980/42822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54980/42822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54980 ÷ 217
    54980 ÷ 131072     		x = 0.419464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42822 ÷ 217
    42822 ÷ 131072     		y = 0.326705932617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419464111328125 × 2 - 1) × π
    -0.16107177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50602191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326705932617188 × 2 - 1) × π
    0.346588134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08883873796996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50602191} λ = -0.50602191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08883873796996))-π/2
    2×atan(2.97082216568776)-π/2
    2×1.24610223154987-π/2
    2.49220446309973-1.57079632675     		φ = 0.92140814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50602191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.992920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92140814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.792798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54980 KachelY 42822 -0.50602191 0.92140814 -28.992920 52.792798
    Oben rechts KachelX + 1 54981 KachelY 42822 -0.50597398 0.92140814 -28.990174 52.792798
    Unten links KachelX 54980 KachelY + 1 42823 -0.50602191 0.92137915 -28.992920 52.791137
    Unten rechts KachelX + 1 54981 KachelY + 1 42823 -0.50597398 0.92137915 -28.990174 52.791137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92140814-0.92137915) × R
    2.89900000000065e-05 × 6371000     		dl = 184.695290000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92140814-0.92137915) × R
    2.89900000000065e-05 × 6371000     		dr = 184.695290000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50602191--0.50597398) × cos(0.92140814) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.604699237920812 × 6371000     		do = 184.652186830637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50602191--0.50597398) × cos(0.92137915) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.604722326865575 × 6371000     		du = 184.659237317681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92140814)-sin(0.92137915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604699237920812-0.604722326865575)×R²
    abs(-0.50597398--0.50602191)×2.30889447634386e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.30889447634386e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.30889447634386e-05×40589641000000     		ar = 34105.0402939432m²