Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54978 / 12098
↖ ↑ ↗
← N 81.173648°
W 28.998413°		 ← 46.86 m → N 81.173648°
W 28.995667°		 →
↑
46.89 m
↓
↑
46.89 m
↓
N 81.173227°
W 28.998413°		 ← 46.87 m →
2 198 m²		 N 81.173227°
W 28.995667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419452667236328 y=0.0923042297363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419452667236328 × 217)
    floor (0.419452667236328 × 131072)
    floor (54978.5)     		tx = 54978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0923042297363281 × 217)
    floor (0.0923042297363281 × 131072)
    floor (12098.5)     		ty = 12098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54978 / 12098 ti = "17/54978/12098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54978/12098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54978 ÷ 217
    54978 ÷ 131072     		x = 0.419448852539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12098 ÷ 217
    12098 ÷ 131072     		y = 0.0923004150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419448852539062 × 2 - 1) × π
    -0.161102294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50611779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0923004150390625 × 2 - 1) × π
    0.815399169921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.56165204189656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50611779} λ = -0.50611779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56165204189656))-π/2
    2×atan(12.9572054899302)-π/2
    2×1.49377187661386-π/2
    2.98754375322773-1.57079632675     		φ = 1.41674743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50611779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.998413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41674743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.173648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54978 KachelY 12098 -0.50611779 1.41674743 -28.998413 81.173648
    Oben rechts KachelX + 1 54979 KachelY 12098 -0.50606985 1.41674743 -28.995667 81.173648
    Unten links KachelX 54978 KachelY + 1 12099 -0.50611779 1.41674007 -28.998413 81.173227
    Unten rechts KachelX + 1 54979 KachelY + 1 12099 -0.50606985 1.41674007 -28.995667 81.173227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41674743-1.41674007) × R
    7.36000000012282e-06 × 6371000     		dl = 46.8905600007825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41674743-1.41674007) × R
    7.36000000012282e-06 × 6371000     		dr = 46.8905600007825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50611779--0.50606985) × cos(1.41674743) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153440328673314 × 6371000     		do = 46.8646259308595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50611779--0.50606985) × cos(1.41674007) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153447601511415 × 6371000     		du = 46.8668472428183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41674743)-sin(1.41674007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153440328673314-0.153447601511415)×R²
    abs(-0.50606985--0.50611779)×7.27283810064705e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.27283810064705e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.27283810064705e-06×40589641000000     		ar = 2197.56063344283m²