Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54976 / 17995
↖ ↑ ↗
← N 78.307739°
W 29.003906°		 ← 61.90 m → N 78.307739°
W 29.001159°		 →
↑
61.93 m
↓
↑
61.93 m
↓
N 78.307182°
W 29.003906°		 ← 61.90 m →
3 833 m²		 N 78.307182°
W 29.001159°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419437408447266 y=0.137294769287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419437408447266 × 217)
    floor (0.419437408447266 × 131072)
    floor (54976.5)     		tx = 54976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137294769287109 × 217)
    floor (0.137294769287109 × 131072)
    floor (17995.5)     		ty = 17995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54976 / 17995 ti = "17/54976/17995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54976/17995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54976 ÷ 217
    54976 ÷ 131072     		x = 0.41943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17995 ÷ 217
    17995 ÷ 131072     		y = 0.137290954589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41943359375 × 2 - 1) × π
    -0.1611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50621366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137290954589844 × 2 - 1) × π
    0.725418090820312 × 3.1415926535     		Φ = 2.27896814483709
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50621366} λ = -0.50621366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27896814483709))-π/2
    2×atan(9.76659749432089)-π/2
    2×1.46876209619595-π/2
    2.93752419239191-1.57079632675     		φ = 1.36672787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50621366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.003906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36672787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.307739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54976 KachelY 17995 -0.50621366 1.36672787 -29.003906 78.307739
    Oben rechts KachelX + 1 54977 KachelY 17995 -0.50616572 1.36672787 -29.001159 78.307739
    Unten links KachelX 54976 KachelY + 1 17996 -0.50621366 1.36671815 -29.003906 78.307182
    Unten rechts KachelX + 1 54977 KachelY + 1 17996 -0.50616572 1.36671815 -29.001159 78.307182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36672787-1.36671815) × R
    9.71999999999085e-06 × 6371000     		dl = 61.9261199999417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36672787-1.36671815) × R
    9.71999999999085e-06 × 6371000     		dr = 61.9261199999417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50621366--0.50616572) × cos(1.36672787) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202655034104164 × 6371000     		do = 61.8960637559489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50621366--0.50616572) × cos(1.36671815) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20266455240645 × 6371000     		du = 61.8989708904681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36672787)-sin(1.36671815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202655034104164-0.20266455240645)×R²
    abs(-0.50616572--0.50621366)×9.51830228596018e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.51830228596018e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.51830228596018e-06×40589641000000     		ar = 3833.07308548186m²