Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54975 / 43011
↖ ↑ ↗
← N 52.477762°
W 29.006653°		 ← 186.03 m → N 52.477762°
W 29.003906°		 →
↑
186.03 m
↓
↑
186.03 m
↓
N 52.476089°
W 29.006653°		 ← 186.03 m →
34 608 m²		 N 52.476089°
W 29.003906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419429779052734 y=0.328151702880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419429779052734 × 217)
    floor (0.419429779052734 × 131072)
    floor (54975.5)     		tx = 54975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328151702880859 × 217)
    floor (0.328151702880859 × 131072)
    floor (43011.5)     		ty = 43011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54975 / 43011 ti = "17/54975/43011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54975/43011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54975 ÷ 217
    54975 ÷ 131072     		x = 0.419425964355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43011 ÷ 217
    43011 ÷ 131072     		y = 0.328147888183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419425964355469 × 2 - 1) × π
    -0.161148071289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.50626160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328147888183594 × 2 - 1) × π
    0.343704223632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.07977866394176
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50626160} λ = -0.50626160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07977866394176))-π/2
    2×atan(2.94402785942502)-π/2
    2×1.24335302828231-π/2
    2.48670605656462-1.57079632675     		φ = 0.91590973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50626160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.006653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91590973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.477762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54975 KachelY 43011 -0.50626160 0.91590973 -29.006653 52.477762
    Oben rechts KachelX + 1 54976 KachelY 43011 -0.50621366 0.91590973 -29.003906 52.477762
    Unten links KachelX 54975 KachelY + 1 43012 -0.50626160 0.91588053 -29.006653 52.476089
    Unten rechts KachelX + 1 54976 KachelY + 1 43012 -0.50621366 0.91588053 -29.003906 52.476089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91590973-0.91588053) × R
    2.91999999999515e-05 × 6371000     		dl = 186.033199999691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91590973-0.91588053) × R
    2.91999999999515e-05 × 6371000     		dr = 186.033199999691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50626160--0.50621366) × cos(0.91590973) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.609069305235779 × 6371000     		do = 186.025443262802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50626160--0.50621366) × cos(0.91588053) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.609092463992623 × 6371000     		du = 186.032516543248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91590973)-sin(0.91588053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609069305235779-0.609092463992623)×R²
    abs(-0.50621366--0.50626160)×2.31587568436664e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31587568436664e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31587568436664e-05×40589641000000     		ar = 34607.5664264197m²