Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54974 / 43029
↖ ↑ ↗
← N 52.447640°
W 29.009399°		 ← 186.11 m → N 52.447640°
W 29.006653°		 →
↑
186.16 m
↓
↑
186.16 m
↓
N 52.445966°
W 29.009399°		 ← 186.12 m →
34 648 m²		 N 52.445966°
W 29.006653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419422149658203 y=0.328289031982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419422149658203 × 217)
    floor (0.419422149658203 × 131072)
    floor (54974.5)     		tx = 54974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328289031982422 × 217)
    floor (0.328289031982422 × 131072)
    floor (43029.5)     		ty = 43029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54974 / 43029 ti = "17/54974/43029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54974/43029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54974 ÷ 217
    54974 ÷ 131072     		x = 0.419418334960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43029 ÷ 217
    43029 ÷ 131072     		y = 0.328285217285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419418334960938 × 2 - 1) × π
    -0.161163330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50630953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328285217285156 × 2 - 1) × π
    0.343429565429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.0789157997486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50630953} λ = -0.50630953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0789157997486))-π/2
    2×atan(2.94148865885162)-π/2
    2×1.24309016631218-π/2
    2.48618033262436-1.57079632675     		φ = 0.91538401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50630953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.009399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91538401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.447640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54974 KachelY 43029 -0.50630953 0.91538401 -29.009399 52.447640
    Oben rechts KachelX + 1 54975 KachelY 43029 -0.50626160 0.91538401 -29.006653 52.447640
    Unten links KachelX 54974 KachelY + 1 43030 -0.50630953 0.91535479 -29.009399 52.445966
    Unten rechts KachelX + 1 54975 KachelY + 1 43030 -0.50626160 0.91535479 -29.006653 52.445966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91538401-0.91535479) × R
    2.9220000000052e-05 × 6371000     		dl = 186.160620000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91538401-0.91535479) × R
    2.9220000000052e-05 × 6371000     		dr = 186.160620000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50630953--0.50626160) × cos(0.91538401) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.609486178519964 × 6371000     		do = 186.113936729912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50630953--0.50626160) × cos(0.91535479) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.60950934377917 × 6371000     		du = 186.121010520489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91538401)-sin(0.91535479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609486178519964-0.60950934377917)×R²
    abs(-0.50626160--0.50630953)×2.31652592064258e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31652592064258e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31652592064258e-05×40589641000000     		ar = 34647.7442854095m²