Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54973 / 43032
↖ ↑ ↗
← N 52.442618°
W 29.012146°		 ← 186.17 m → N 52.442618°
W 29.009399°		 →
↑
186.16 m
↓
↑
186.16 m
↓
N 52.440944°
W 29.012146°		 ← 186.18 m →
34 659 m²		 N 52.440944°
W 29.009399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419414520263672 y=0.328311920166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419414520263672 × 217)
    floor (0.419414520263672 × 131072)
    floor (54973.5)     		tx = 54973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328311920166016 × 217)
    floor (0.328311920166016 × 131072)
    floor (43032.5)     		ty = 43032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54973 / 43032 ti = "17/54973/43032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54973/43032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54973 ÷ 217
    54973 ÷ 131072     		x = 0.419410705566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43032 ÷ 217
    43032 ÷ 131072     		y = 0.32830810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419410705566406 × 2 - 1) × π
    -0.161178588867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.50635747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32830810546875 × 2 - 1) × π
    0.3433837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.07877198904974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50635747} λ = -0.50635747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07877198904974))-π/2
    2×atan(2.94106567172767)-π/2
    2×1.24304633849694-π/2
    2.48609267699389-1.57079632675     		φ = 0.91529635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50635747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.012146°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91529635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.442618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54973 KachelY 43032 -0.50635747 0.91529635 -29.012146 52.442618
    Oben rechts KachelX + 1 54974 KachelY 43032 -0.50630953 0.91529635 -29.009399 52.442618
    Unten links KachelX 54973 KachelY + 1 43033 -0.50635747 0.91526713 -29.012146 52.440944
    Unten rechts KachelX + 1 54974 KachelY + 1 43033 -0.50630953 0.91526713 -29.009399 52.440944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91529635-0.91526713) × R
    2.9219999999941e-05 × 6371000     		dl = 186.160619999624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91529635-0.91526713) × R
    2.9219999999941e-05 × 6371000     		dr = 186.160619999624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50635747--0.50630953) × cos(0.91529635) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.609555672736351 × 6371000     		do = 186.173992416576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50635747--0.50630953) × cos(0.91526713) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.609578836434285 × 6371000     		du = 186.181067206158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91529635)-sin(0.91526713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609555672736351-0.609578836434285)×R²
    abs(-0.50630953--0.50635747)×2.31636979345362e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31636979345362e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31636979345362e-05×40589641000000     		ar = 34658.9243821476m²